Алгебра 1Phys весна 2021

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.

Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание второго семестра курса алгебры

4   Векторные пространства
  • 4.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
    Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
    Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
  • 4.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
    Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
    порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  • 4.3  Размерность, координаты, замена координат
    Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
    оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  • 4.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
    Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
    прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
    ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
5   Линейные операторы
  • 5.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
    Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
    Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  • 5.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
    Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
    полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  • 5.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
    Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
    присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
    Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
  • 5.4  Многочлены и ряды от линейных операторов
    Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
    линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
    оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  • 5.5  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
    Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
    Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
    Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  • 5.6  Жорданова нормальная форма линейного оператора
    Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного
    оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.
6   Векторные пространства с ¯-билинейной формой
  • 6.1  ¯-Билинейные формы
    Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
    формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
  • 6.2  ¯-Квадратичные формы
    ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем . Гиперповерхности
    второго порядка (аффинные квадрики). Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
  • 6.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
    Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
    Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
  • 6.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
    Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
    Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
7   Геометрия в векторных пространствах над или
  • 7.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
    Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
    дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
    формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм.
  • 7.2  Предгильбертовы пространства
    Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
    Метрика. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы пространства. Псевдоунитарные пространства.
  • 7.3  Ориентация, объем, векторное произведение
    Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
    координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
    произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
  • 7.4  Тело кватернионов
    Кольцо кватернионов. Скалярная часть и векторная часть. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о
    свойствах кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании поворотов при помощи кватернионов.
8   Алгебры
  • 8.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
    Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Примеры инъективных гомоморфизмов
    -алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебра многочленов от свободных переменных. Однородные
    многочлены. Алгебра многочленов от коммутирующих переменных. Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных.
  • 8.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
    Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
    алгебр Ли. Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.


Подробные планы третьего модуля курса алгебры и четвертого модуля курса алгебры

Информация об экзаменах

Вопросы к экзамену по третьему модулю
  1. Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы.
  2. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством. Линейные комбинации.
  3. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
  4. Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса.
  5. Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Теорема о существовании базиса.
  6. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  7. Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах.
  8. Столбец координат вектора. Матрица линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора.
  9. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  10. Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве.
  11. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о прямой сумме.
  12. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве.
  13. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат ковектора. Преобразование координат ковекторов.
  14. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
  15. Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга.
  16. Элементарные преобразования. Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы.
  17. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  18. Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм.
  19. Симметричные и антисимметричные полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.
  20. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  21. Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа .
  22. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре.
  23. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора. Лемма о спектре.
  24. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
  25. Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
  26. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
  27. Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
  28. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  29. Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
  30. Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
  31. Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  32. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
  33. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки.
  34. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.
Вопросы к экзамену по четвертому модулю
  1. Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама.
  2. ¯-Симметричные и ¯-антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
  3. ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем .
  4. Гиперповерхности второго порядка. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
  5. Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы.
  6. Оператор диез (подъем индекса). Теорема о базисах и невырожденных формах.
  7. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
  8. Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе.
  9. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Лемма об ортогональном проекторе.
  10. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
  11. Положительно и отрицательно определенные формы и матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа.
  12. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра.
  13. Теорема о классификации пространств с формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка.
  14. Предгильбертовы пространства. Евклидовы и унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
  15. Метрика. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства.
  16. Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема.
  17. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама.
  18. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.
  19. Векторное произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
  20. Кольцо кватернионов. Скалярная часть и векторная часть. Чистые кватернионы. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах кватернионов.
  21. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании поворотов при помощи кватернионов.
  22. Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с .
  23. Примеры инъективных гомоморфизмов -алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры.
  24. Алгебра многочленов от свободных переменных. Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих и антикоммутирующих переменных.
  25. Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли.
  26. Теорема Кэли для алгебр Ли. Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.
Правила проведения экзаменов
  • Во время экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, письменные принадлежности и список вопросов к экзамену.
  • Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,
    второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  • После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные
    вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам
    модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).