- Пр.-во билинейных форм: . Примеры билин. форм: (, ), (, ).
- Поля с инволюцией. Пространство : . Пространство ¯-билинейн. форм (полуторалинейных форм, если ): .
- Матрица Грама формы : . Обобщенная матрица Грама: . Теорема о матрице Грама.
Теорема о матрице Грама. Пусть — поле с инволюцией, — векторное простр.-во над , , и ; тогда
(1) для любых выполнено (координаты вычисляются относительно );
(2) для любых и выполнено .
- Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
- Простр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
- Пр.-ва ¯-антисимметр. форм и матриц: и .
- Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
- Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
- Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогональн. коорд. (): .
- Ортонормированный базис ( или ): — диагональная матрица с на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — вект. пр. над и ; тогда .
- Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , и ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).
Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то сущ.-т такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали.
- Лемма об ортогональном проекторе. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , , ,
форма невырождена и ; тогда и, если , то .
- Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть — поле с инволюцией, — векторное простр.-во над , , , ,
, форма невырождена и ; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над , , и
; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор матрицы (то
есть ). Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для
любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено и
, а также (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
- Ортогонал. системы функций: и (), (), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).
- Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
- Ориентация пр.-ва — выбор эл.-та мн.-ва . Знак набора векторов: . Теорема о знаке базиса и формах объема.
Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — векторное простр.-во с ориентацией и ; тогда для любых выполнено
, а также множество , равное , не зависит от выбора упорядоченного базиса .
- Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклидово пространство сигнатуры с ориентацией, и ; тогда
(1) ;
(2) для любых выполнено .
- Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
(1) ;
(2) если и , то .
- Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Векторное произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — псевдоевклидово пр.-во сигнатуры с ориентацией, и ; тогда
(1) , а также , если и только если векторы независимы;
(2) если , то и, если независимы, то ;
(3) для любых выполнено ;
(4) если и , то для любых выполнено и .