Алгебра phys 1 апрель–май

Подробный план четвертого модуля курса алгебры

6   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

6.1  ¯-Билинейные формы

• Пр.-во билинейных форм: $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры билин. форм: $(v,w)\mapsto v^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot s\cdot w$ ($V=K^n$, $s\in \mathrm {Mat} (n,K)$), $(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg$ ($V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)$, $s\in V$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\overline {V}}$: $c\overline\cdot v=\overline c\,v$. Пространство ¯-билинейн. форм (полуторалинейных форм, если $\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K$): ${\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)$.
• Матрица Грама формы $\sigma$: $(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})$. Обобщенная матрица Грама: $(\sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{m}),(w_{1},\ldots ,w_{m})})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (v_{j_{1}}\!,w_{j_{2}})$. Теорема о матрице Грама.

  Теорема о матрице Грама. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное простр.-во над $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $\sigma (v,w)=(v^{e})^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}$ (координаты вычисляются относительно $e$);
  (2) для любых $m\in \mathbb {N} _{0}$ и $v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V$ выполнено $\sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{m}),(w_{1},\ldots ,w_{m})}\!={\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{m}^{e}{\bigr )}^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {{\bigl (}w_{1}^{e}\;\ldots \;w_{m}^{e}{\bigr )}}}$.

• Изоморфизм вект. пр.-в ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Преобразования при замене базиса: $\sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}$ и $\sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}$.
• Простр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: ${\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!={\overline {s}}\}$.
• Пр.-ва ¯-антисимметр. форм и матриц: ${\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!=-{\overline {s}}\}$.
• Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: $\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}$.
• Изоморфизмы между пр.-вами с формой: $\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)$ и $(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing$.

6.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Func} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}$. Утверждение: $\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)$.
• ¯-Квадратичная форма $\kappa$ в коорд.: $\kappa (v)=(v^{e})^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}$; если $\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K$, то $\kappa(v)$ — однор. многочлен степени $2$ от $v^{1},\ldots ,v^{n}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $V$ — векторное пространство над $K$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение $\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)$, имеем следующие факты:
  $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — симметричная билинейная форма (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)$), а также $\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)$;
  (2) линейные операторы $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть $V$ — векторное пространство над $\,\mathbb {C}$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем
  следующие факты: $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — полуторалинейная форма (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$), а также $\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)$;
  (2) линейные операторы $\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Гиперповерхность втор. порядка (аффинная квадрика) в $V$: мн.-во вида $\{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}$, где $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}$, $\lambda \in V^{*}$ и $c\in K$.
• Примеры аффинных квадрик. Утверждение: пусть $s\in \mathrm {Mat} (n,K)$, $\lambda\in K_n$, $c\in K$ и $v\in K^{n}$; тогда $\,v^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda \cdot v+c={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}}{\Bigr )}^{\!\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\!\cdot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}s&\lambda ^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\\\lambda &c\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\cdot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$.

6.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы

• Оператор бемоль (опускание индекса): $\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$. Опускание индекса в координатах: $(\flat _{\sigma }v)_{e}=(v^{e})^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot \sigma _{e,e}$ и $(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}$.
• Случай $\dim V<\infty$: ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\flat_\sigma$ — биекция${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$$\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}$. Ранг формы $\sigma$: $\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma$. Утверждение: $\mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})$.
• Топологическая невырожденность ($K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — нормир. пр.-во, $\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)$): $\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — биекция.
• Пример: $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V=\ell _{K}^{2}={\bigl \{}f\in \mathrm {Func} (\mathbb {N} ,K)\mid \sum _{n=1}^{\infty }|f_{i}|^{2}\!<\infty {\bigr \}}$ и $\sigma \,\colon (f,g)\mapsto \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}{\overline {g_{i}}}$; тогда $\sigma$ топологически невырожд. (без док.-ва).
• Оператор диез (подъем индекса): $\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}$ ($\sigma$ невырождена). Подъем индекса в коорд. ($\sigma ^{e,e}=(\sigma _{e,e}^{-1})^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}$): $(\sharp ^{\sigma }\lambda )^{e}=\sigma ^{e,e}\!\cdot (\lambda _{e})^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}$ и $(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j$.
• Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. простр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, $m\in \mathbb {N} _{0}$, $v_1,\ldots,v_m\in V$ и
  $U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$; тогда $\sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{m}),(v_{1},\ldots ,v_{m})}\!\in \mathrm {GL} (m,K)$, если и только если $(v_{1},\ldots ,v_{m})\in \mathrm {OB} (U)$ и форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена.
• Ортогональные векторы ($\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$): $v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0$. Ортогональн. дополнение: $U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. простр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$ и $U,W\leq V$; тогда
  (1) $U\subseteq U^{\perp\perp}$, $U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp$, $(U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }$ и $\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp$;
  (2) если $\dim V<\infty$ и форма $\sigma$ невырождена, то $\dim U^{\perp }\!=\dim V-\dim U$, а также $U=U^{\perp \perp }$ и $\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp$;
  (3) $\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp$ и, если $\dim U<\infty$, то ${\bigl (}$форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow\;\,$$U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$;
  (4) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена, то $V=U\oplus U^{\perp }$ (и, значит, определен ортогональный проектор на $U$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+w&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}$).

6.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$. Форма $\sigma$ в ортогональн. коорд. ($e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$): $\sigma(v,w)=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,i}\,v^i\overline{w^i}$.
• Ортонормированный базис ($K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица с $1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0$ на диагонали${\bigr )}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — вект. пр. над $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}$; тогда $\exists \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (v,v)\neq 0{\bigr )}$.
• Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

  Теорема Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; тогда
  (1) в пространстве $V$ существует ортогональный базис (то есть $\mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$);
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то в пространстве $V$ существует ортонормированный базис (то есть $\mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$).

  Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица;
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то сущ.-т такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диаг. матрица с $1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0$ на диагонали.

• Лемма об ортогональном проекторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, $U\leq V$, $m=\dim U<\infty$, $e\in \mathrm {OB} (U)$,
  форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $v\in V$; тогда $\mathrm {proj} _{U}(v)^{e}=(\sigma |_{U\times U})^{e,e}\!\cdot \!{\biggl (}{\begin{smallmatrix}\sigma (v,e_{1})\\\vdots \\\sigma (v,e_{m})\end{smallmatrix}}{\biggr )}$ и, если $e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})$, то $\mathrm {proj} _{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\sigma (v,e_{i})}{\sigma (e_{i},e_{i})}}\,e_{i}$.
• Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное простр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, $m\in\mathbb N$, $v_1,\ldots,v_m\in V$,
  $U=\langle v_{1},\ldots ,v_{m-1}\rangle$, форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и ${\hat {v}}_{m}=v_{m}-\mathrm {proj} _{U}(v_{m})$; тогда $\det \sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{m}),(v_{1},\ldots ,v_{m})}=\det \sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{m-1}),(v_{1},\ldots ,v_{m-1})}\cdot \sigma ({\hat {v}}_{m},{\hat {v}}_{m})$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и
  $e\in \mathrm {OB} (V)$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ и обозначим через $cm_i$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$ (то
  есть $cm_{i}=\det \sigma _{(e_{1},\ldots ,e_{i}),(e_{1},\ldots ,e_{i})}$). Пусть для любых $i\in \{1,\ldots ,n-1\}$ форма $\sigma |_{V_{i}\times V_{i}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что $cm_i\ne0$); для
  любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через ${\hat {e}}_{i}$ вектор $e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})$ и
  $\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}$, а также $\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).
• Ортогонал. системы функций: $\cos(nx)$ и $\sin(nx)$ ($n\in \mathbb {N}$), $\mathrm e^{nx\,\mathrm i}$ ($n\in \mathbb {Z}$), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

7   Геометрия в векторных пространствах над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

7.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы

• Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=-{\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$.
• Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=-{\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K){}$.
• Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — вект. пр.-во над $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда
  (1) если $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$ и $U\leq V$, то $U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$ и, если $\dim U<\infty$, то форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $V=U\oplus U^{\perp }$;
  (2) если $n=\dim V<\infty$, то $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\exists\,e\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n\bigr)$;
  (3) если $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$, то $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\exists \,g\in \mathrm {GL} (n,K)\;{\bigl (}\sigma _{e,e}=g^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot {\overline {g}}{\bigr )}$.
• Критерий Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; для любых
  $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через $cm_i$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$ (то есть $cm_{i}=\det \sigma _{(e_{1},\ldots ,e_{i}),(e_{1},\ldots ,e_{i})}$); тогда
  (1) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)$;
  (2) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$, если и только если $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)$.
• Индексы инерции формы $\sigma$: $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}$ и $\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное простр.-во над $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$; тогда
  (1) $\mathrm {ind} _{>0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid \sigma (e_{i},e_{i})>0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid \sigma (e_{i},e_{i})>0\}|$ не зависит от $e$);
  (2) $\mathrm {ind} _{<0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid \sigma (e_{i},e_{i})<0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid \sigma (e_{i},e_{i})<0\}|$ не зависит от $e$);
  (3) $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)$.
• Теорема о классификации пространств с формой. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V,Y$ — вект. простр.-ва над $K$, $\dim V,\dim Y<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и
  $\varphi \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(Y)$; тогда $(V,\sigma )\cong (Y,\varphi )$, если и только если $\dim V=\dim Y$, $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)$ и $\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)$.
• Сигнатура формы $\sigma$: $(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))$ (или $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)$). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).

7.2  Предгильбертовы пространства

• Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: $(\,\mid\,)$. Примеры: $(v\!\mid \!w)=v^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot {\overline {w}}$, $(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g$.
• Евклидово$\,/\,$унитарное пр.-во — конечномерн. вект. пр.-во над $\mathbb {R}$$\,/\,$$\mathbb {C}$ с полож. опред. формой, то есть конечномерн. предгильбертово пр.-во над $\mathbb {R}$$\,/\,$$\mathbb {C}$.
• Норма: $\|v\|={\sqrt {(v\!\mid \!v)}}$. Утверждение: $v\neq 0\,\Rightarrow \,\|v\|>0$ и $\|c\,v\|=|c|\,\|v\|$. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: $\ell ^{2}$.
• Теорема о свойствах нормы. Пусть $V$ — предгильбертово пространство; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|$ (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
  (2) для любых $v,w\in V$ выполнено $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ (это неравенство треугольника);
  (3) если $\dim V<\infty$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ и $v\in V$ выполнено $v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i$ и $\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2$ (это равенство Парсеваля).
• Метрика: $\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|$. Расстояние между подмн.-вами: $\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}$. Теорема о расстояниях и проекциях.

  Теорема о расстояниях и проекциях. Пусть $V$ — предгильбертово пространство и $U,U'\!\leq V$; тогда
  (1) для любых $v,v'\!\in V$ выполнено $\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')$;
  (2) если $\dim U<\infty$, то для любых $v\in V$ выполнено $\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))$;
  (3) если $\dim V<\infty$, то $\mathrm {proj} _{U}\!+\mathrm {proj} _{U^{\perp }}\!=\mathrm {id} _{V}$ и для любых $v\in V$ выполнено $\mathrm {dist} (v,U)=\|\mathrm {proj} _{U^{\perp }}\!(v)\|$;
  (4) если $\dim U<\infty$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (U)$ и $v\in V$ выполнено $\mathrm {proj} _{U}(v)=\!\sum _{i=1}^{\dim U}\!(v\!\mid \!e_{i})\,e_{i}$ и $\|v\|^{2}\geq \!\sum _{i=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid \!e_{i})|^{2}$ (это неравенство Бесселя).

• Метод наименьших квадратов: замена системы $a\cdot v=y$, где $a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)$ и $\mathrm{rk}(a)=n$, на систему $a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)$, где $X=\{a\cdot v\mid v\in \mathbb {R} ^{n}\}$.
• Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом ($K=\mathbb {R}$, $v\ne0$, $w\ne0$, $U\ne\{0\}$): $\angle (v,w)=\arccos {\frac {(v\!\mid \!w)}{\|v\|\,\|w\|}}{}$ и $\angle (v,U)=\arccos {\frac {\|\mathrm {proj} _{U}(v)\|}{\|v\|}}$.
• Псевдоевклидово$\,/\,$псевдоунитарное пр.-во сигнатуры $(p,q)$ — кон.-мерн. вект. пр.-во над $\mathbb {R}$$\,/\,$$\mathbb {C}$ с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры $(p,q)$.

7.3  Ориентация, объем, векторное произведение

• Отн.-е одинак. ориентированности ($V$ — кон.-мерн. в. пр. над $\mathbb {R}$, $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$): $e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0$. Утверждение: $V\ne\{0\}\,\Rightarrow\,|\mathrm{OB}(V)/{\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim}|=2$.
• Ориентация пр.-ва $V$ — выбор эл.-та $\mathrm {OB} _{>0}(V)$ мн.-ва $\mathrm {OB} (V)/{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {or} }{\sim }}$. Знак набора векторов: $\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)$. Теорема о знаке базиса и формах объема.

  Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть $V$ — векторное простр.-во с ориентацией и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда для любых ${\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено
  $\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e$, а также множество $\mathrm {VF} _{>0}(V)$, равное $\,\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e$, не зависит от выбора упорядоченного базиса $e$.

• Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией ($e\in \mathrm {OB} (V)$): $\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e$; если $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$, то $\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e$.
• Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: $\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}$. Лемма об объеме и матрице Грама.

  Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры $(p,q)$ с ориентацией, $n=p+q$ и $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$; тогда
  (1) $\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}$;
  (2) для любых $w_{1},\ldots ,w_{n}\in V$ выполнено $\mathrm {vol} (v_{1},\ldots ,v_{n})\cdot \mathrm {vol} (w_{1},\ldots ,w_{n})=(-1)^{q}\det \sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{n}),(w_{1},\ldots ,w_{n})}$.

• Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|$ в $\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, если $v_1,\ldots,v_m$ независимы; иначе $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0$.
• Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово пространство, $m\in \mathbb {N} _{0}$ и $v_1,\ldots,v_m\in V$; тогда
  (1) $|\mathrm {vol} |_{m}(v_{1},\ldots ,v_{m})={\sqrt {\det \sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{m}),(v_{1},\ldots ,v_{m})}}}$;
  (2) если $m\ge1$ и ${\hat {v}}_{m}=v_{m}-\mathrm {proj} _{\langle v_{1},\ldots ,v_{m-1}\rangle }(v_{m})$, то $|\mathrm {vol} |_{m}(v_{1},\ldots ,v_{m})=|\mathrm {vol} |_{m-1}(v_{1},\ldots ,v_{m-1})\cdot \|{\hat {v}}_{m}\|$.
• Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: $v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)$ ($\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)$).
• Векторное произведение в коорд.: $(v_{1}\times \ldots \times v_{n-1})^{i}=\mathrm {sign} (e){\sqrt {|\det \sigma _{e,e}|}}\!\!\!\sum _{1\leq j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n}\!\!\!\sigma ^{i,j_{n}}\varepsilon _{j_{1},\ldots ,j_{n}}v_{1}^{j_{1}}\!\cdot \ldots \cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}$. Теорема о векторном произведении.

  Теорема о векторном произведении. Пусть $V$ — псевдоевклидово пр.-во сигнатуры $(p,q)$ с ориентацией, $n=p+q\geq 1$ и $v_1,\ldots,v_{n-1}\in V$; тогда
  (1) $v_{1}\times \ldots \times v_{n-1}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle ^{\perp }$, а также $v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0$, если и только если векторы $v_1,\ldots,v_{n-1}$ независимы;
  (2) если $q=0$, то $\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})$ и, если $v_1,\ldots,v_{n-1}$ независимы, то $(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)$;
  (3) для любых $w_{1},\ldots ,w_{n-1}\in V$ выполнено $(v_{1}\times \ldots \times v_{n-1}\!\mid \!w_{1}\times \ldots \times w_{n-1})=(-1)^{q}\det \sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{n-1}),(w_{1},\ldots ,w_{n-1})}$;
  (4) если $n=3$ и $q=0$, то для любых $u,v,w\in V$ выполнено $(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,$ и $\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0$.

7.4  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

• Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}$.
• Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$, или $K=\mathbb {C}$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда $\,\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (a(v),a(v))=\sigma (v,v){\bigr )}\}$.
• Ортогональная группа ($V$ — в. пр. над $\mathbb {R}$, $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$): $\mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$. Унитарная группа ($V$ — в. пр. над $\mathbb {C}$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$): $\mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$.
• Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
  (1) Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над $K$, $n=\dim V<\infty$, $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\stackrel{}{\mathrm{B}}$