Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск

Подробный план второго модуля курса алгебры

3   Группы и кольца (часть 2)

3.1  Симметрические группы и символ Леви-Чивиты
  • Транспозиции: (). Фундаментальные транспозиции: . Мн.-во инверсий: .
  • Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .
  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа , упорядоч. по
    неубыванию (то есть и ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что .
  • Символ Леви-Чивиты: , если числа попарно различны; иначе . Пример: .
  • Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: ; ().

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это сюръективный гомоморфизм групп;
    (2) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
    (3) для любых выполнено , где — количество циклов четной длины в цикловой записи перестановки ;
    (4) для любых и выполнено .

  • Простая группа: и . Пример: если и , то — простая группа (без доказ.-ва; см. § 1 главы 2 в [4]).
  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    неупорядоченные наборы длин циклов в цикловой записи перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
  • Задание группы образующими и соотношениями: порождена образ.-ми с соотн.-ми инволютивности, локальности и кос (без док.-ва).
3.2  Матрицы, столбцы, строки, определитель матрицы, группы матриц
  • Множ.-ва матриц, столбцов, строк над кольцом : , , . Слож.-е матриц, умнож.-е матриц на скаляры.
  • Умнож.-е матриц: . Кольцо , группа . Скалярные, диагональные, треугольные, блочные матрицы.
  • Оператор умножения на матрицу : . Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями: , , .
  • Столбцы и строки матрицы : и . Утверждение: , , , и .
  • Транспонирование матрицы : . След квадратн. матрицы : . Линейность и . Теорема о свойствах транспонирования и следа.

    Теорема о свойствах транспонирования и следа. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) для любых и выполнено и, если , то ;
    (2) для любых выполнено , а также для любых выполнено .

  • Симметричные и антисимм. матрицы: и .
  • Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Расстановки ладей и .
  • Ориентированная (со знаком) площадь (): , ориентир. объем (): . Лемма об определителе набора столбцов.

    Лемма об определителе набора столбцов. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если среди столбцов есть равные, то ;
    (3) для любых выполнено .

  • Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) — гомоморфизм моноидов по умножению, а также (доказат.-во только );
    (2) для любых и выполнено , а также ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) для любых , , и выполнено .
  • Специальная линейн. группа: . Геом. смысл: сохраняет ориент. объем.
  • Ортогональная группа: . Унитарная группа: .
  • Специал. ортогон. и унит. группы: и . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.

    Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
    Отображение — изоморфизм колец, и отображение — изоморфизм групп.

3.3  Действия групп на множествах, автоморфизмы групп, полупрямое произведение групп
  • Действие группы на множ.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
  • Примеры: группы матриц действуют на , действует на умнож.-ем слева и на сопряжением. Теорема Кэли. Точное действие: — инъекция.

    Теорема Кэли. Пусть — группа; для любых обозначим через отображ.-е ; тогда отображ.-е определено
    корректно и является инъективным гомоморфизмом групп (и, значит, ).

  • Орбита точки : (, где ). Множество орбит: — разбиение множ.-ва .
  • -Множество — мн.-во с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: . Однородное -мн.-во (транзитивное действие): .
  • Стабилизатор точки : . Свободное -мн.-во: ().
  • Торсор над — однородное свободное -мн.-во. Неподвижные точки элем.-та : . Теорема о стабилизаторах и орбитах.

    Теорема о стабилизаторах и орбитах. Пусть — группа, -множество и ; тогда
    (1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть , а также,
    если , то (и, значит, делит );
    (2) если , то (это лемма Бернсайда).

  • Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутренних автоморф.-в: .
  • Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Коммутатор элементов: .

    Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро
    есть и его образ есть (и, значит, ), а также .

  • Коммутант группы : . Утверждение: . Абелианизация группы : — абелева группа.
  • Полупрямое произведение относит.-но действия , где : с умножением .
  • Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
  • Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие «» можно заменить на условие «».
3.4  Делимость в коммутативных кольцах и евклидовы кольца
  • Главный идеал — идеал вида . Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные. Пример неглавн. идеала: в .
  • Наибольший относ.-но общий делитель и : ; наименьшее относ.-но общее кратное и : ; и опр.-ны с точностью до .
  • Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) , , , ;
    (2) если идеал главный, то , и, если идеал главный, то ;
    (3) если в кольце все идеалы главные, то и существуют, а также .
  • Евклидова норма — такая функция , что относ.-но можно делить с остатком на ненул. эл.-ты и не убывает относ.-но на .
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (), ( — поле, ), и ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) в невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в не существует такой бесконечной послед.-сти , что );
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) — область главных идеалов (в частности, и , где — поле, являются областями главных идеалов).
  • Соотношение Безу для эл.-тов и евклидова кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда, если , то .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
3.5  Факториальные кольца и элементарная теория чисел
  • Мн.-во неприводим. эл.-тов: . Пример: . Утверждение: и .
  • Теорема о неприводимых элементах и факторкольцах. Пусть — область целостности и ; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если — область главных идеалов, то след. утвержд.-я эквивалентны: (у1) , (у2) — область целостности, (у3) — поле.
  • Факториальное кольцо — обл. цел.-сти с единств. (с точн.-ю до и перестановок) разложением любого ненул. эл.-та в произвед.-е неприводимых эл.-тов.
  • Примеры: — факториал. кольцо (это основная теорема арифметики); если факториально, то факториально (без доказ.-ва; см. § 2 главы 4 в [4]).
  • Теорема о достаточных условиях факториальности. Пусть — область целостности; тогда
    (1) если в невозможна бесконечная строгая делимость и — область целостности, то — факториальное кольцо;
    (2) если — евклидово кольцо, то — факториальное кольцо (в частности, и , где — поле, являются факториальными кольцами).
  • Теорема о делимости в факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произв.-е неприводимых эл.-тов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и .
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах функции Эйлера.
    (1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
3.6  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Производная многочлена: . Правило Лейбница. Пусть — кольцо и ; тогда .
  • Корень кратности многочл. (): (). Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда
    (1) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и ;
    (2) если — обл. целостности, , не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
    такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: , где и , .
  • Теорема о поле частных. Отождествл.-е и . Примеры: , — поле рационал. дробей.

    Теорема о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
    для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Правильная дробь: (). Выделение правил. дроби. Несократимая запись: (, нормир.). Приведение к несократ. записи.
  • Примарная дробь: (, нормирован, и ). Простейшая дробь: примарная дробь с условием .
  • Метод неопределенных коэффициентов для разложения правильных дробей в сумму простейших дробей (доказ.-во корректности см. в § 4 главы 5 в [3]).