Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь

Подробный план второго модуля курса алгебры

3   Группы и кольца (часть 2)

3.1  Симметрические группы и символ Леви-Чивиты

• Транспозиции: $(i\;\,j)$ ($i\neq j$). Фундаментальные транспозиции: $(i\;\,i+1)$. Мн.-во инверсий: $\mathrm {inv} (f_{1},\ldots ,f_{n})=\{(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}^{2}\!\mid i<j\;\land \,f_{i}>f_{j}\}$.
• Лемма о количестве инверсий. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$, $f_{1},\ldots ,f_{n}\in \mathbb {Z}$, $l=|\mathrm {inv} (f_{1},\ldots ,f_{n})|$ и $i\in \{1,\ldots ,n-1\}$; тогда
  (1) $(f_{1},\ldots ,f_{n})\circ (i\;\,i+1)=(f_{1},\ldots ,f_{i-1},f_{i+1},f_{i},f_{i+2},\ldots ,f_{n})$;
  (2) если $f_{i}>f_{i+1}$, то $|\mathrm {inv} ((f_{1},\ldots ,f_{n})\circ (i\;\,i+1))|=l-1$, и, если $f_{i}<f_{i+1}$, то $|\mathrm {inv} ((f_{1},\ldots ,f_{n})\circ (i\;\,i+1))|=l+1$.
• Теорема о сортировке пузырьком. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$, $f_{1},\ldots ,f_{n}\in \mathbb {Z}$ и $l=|\mathrm {inv} (f_{1},\ldots ,f_{n})|$; обозначим через ${\hat {f_{1}}},\ldots ,{\hat {f_{n}}}$ числа $f_{1},\ldots ,f_{n}$, упорядоч. по
  неубыванию (то есть $\exists\,u\in\mathrm S_n\,\bigl((f_{u(1)},\ldots,f_{u(n)})=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})\bigr)\!$ и $\hat{f_1}\le\ldots\le\hat{f_n}$); тогда
  (1) существуют такие фундаментальные транспозиции $u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}$, что $(f_{1},\ldots ,f_{n})\circ u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}=({\hat {f_{1}}},\ldots ,{\hat {f_{n}}})$;
  (2) для любых $l'\!\in \mathbb {N} _{0}$ из существования таких фундаментальных транспозиций $u_{1},\ldots ,u_{l'}\!\in \mathrm {S} _{n}$, что $(f_1,\ldots,f_n)\circ u_1\circ\ldots\circ u_{l'}\!=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})$,
  следует, что $l\leq l'$, а также в том случае, когда числа $f_{1},\ldots ,f_{n}$ попарно различны, что $l\equiv l'\,(\mathrm{mod}\;2)$.
• Символ Леви-Чивиты: $\varepsilon_{f_1,\ldots,f_n}\!=(-1)^{|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|}$, если числа $f_{1},\ldots ,f_{n}$ попарно различны; иначе $\varepsilon_{f_1,\ldots,f_n}\!=0$. Пример: $(v\times w)_{i}=\!\!\!\sum _{1\leq j,k\leq 3}\!\!\!\varepsilon _{i,j,k}\,v_{j}\,w_{k}$.
• Знак перестановки $u$: $\mathrm{sgn}(u)=\varepsilon_{u(1),\ldots,u(n)}$. Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: $\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\!\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}$; $|\mathrm A_n|=n!/2$ ($n\geq 2$).

  Теорема о свойствах знака. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {S} _{n}\!&\to \{1,-1\}\\u&\mapsto \mathrm {sgn} (u)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп и, если $n\geq 2$, то это сюръективный гомоморфизм групп;
  (2) для любых $m\in \{1,\ldots ,n\}$ и попарно различных чисел $i_{1},\ldots ,i_{m}\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $\mathrm {sgn} ((i_{1}\;\ldots \;i_{m}))=(-1)^{m-1}$;
  (3) для любых $u\in \mathrm {S} _{n}$ выполнено $\mathrm{sgn}(u)=(-1)^k$, где $k$ — количество циклов четной длины в цикловой записи перестановки $u$;
  (4) для любых $f_{1},\ldots ,f_{n}\in \mathbb {Z}$ и $u\in \mathrm {S} _{n}$ выполнено $\varepsilon_{f_{u(1)},\ldots,f_{u(n)}}\!\!=\mathrm{sgn}(u)\,\varepsilon_{f_1,\ldots,f_n}$.

• Простая группа: $\forall \,H\trianglelefteq G\;{\bigl (}H=\{1\}\,\lor \,H=G{\bigr )}$ и $G\neq \{1\}$. Пример: если $n\in \mathbb {N}$ и $n\ge5$, то $\mathrm {A} _{n}$ — простая группа (без доказ.-ва; см. § 1 главы 2 в [4]).
• Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s,{\breve {s}}\in \mathrm {S} _{n}$; тогда перестановки $s$ и ${\breve {s}}$ сопряжены, если и только если
  неупорядоченные наборы длин циклов в цикловой записи перестановок $s$ и ${\breve {s}}$ (то есть цикловые типы перестановок $s$ и ${\breve {s}}$) равны.
• Задание группы $\mathrm S_n$ образующими и соотношениями: $\mathrm S_n$ порождена образ.-ми $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ с соотн.-ми инволютивности, локальности и кос (без док.-ва).

3.2  Матрицы, столбцы, строки, определитель матрицы, группы матриц

• Множ.-ва матриц, столбцов, строк над кольцом $R$: $\mathrm {Mat} (p,n,R)$, $R^{n}\!=\mathrm {Mat} (n,1,R)$, $R_{n}\!=\mathrm {Mat} (1,n,R)$. Слож.-е матриц, умнож.-е матриц на скаляры.
• Умнож.-е матриц: $(b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}$. Кольцо $\mathrm{Mat}(n,R)$, группа $\mathrm {GL} (n,R)=\mathrm {Mat} (n,R)^{\times }$. Скалярные, диагональные, треугольные, блочные матрицы.
• Оператор умножения на матрицу $a$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {lm} _{a}\colon R^{n}\!&\to R^{p}\\v&\mapsto a\cdot v\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями: $(\mathbf e_i)^k=\delta_i^k$, $(\mathbf e^j)_l=\delta^j_l$, $(\mathbf e_i^j)^k_l=\delta_i^k\,\delta^j_l$.
• Столбцы и строки матрицы $a$: $a^\bullet_j=a\cdot\mathbf e_j$ и $a^i_\bullet=\mathbf e^i\cdot a$. Утверждение: $\mathbf e_i\cdot\mathbf e^j=\mathbf e_i^j$, $\mathbf e^j\cdot\mathbf e_i=\delta_i^j$, $\mathbf e_i^j\cdot\mathbf e_k^l=\delta^j_k\,\mathbf e_i^l$, $(b\cdot a)_{j}^{\bullet }=b\cdot a_{j}^{\bullet }$ и $(b\cdot a)_{\bullet }^{i}=b_{\bullet }^{i}\cdot a$.
• Транспонирование матрицы $a$: $(a^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. След квадратн. матрицы $a$: $\mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}$. Линейность ${}^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}$ и $\mathrm {tr}$. Теорема о свойствах транспонирования и следа.

  Теорема о свойствах транспонирования и следа. Пусть $R$ — коммутативное кольцо и $n,p,r\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $a\in \mathrm {Mat} (p,n,R)$ и $b\in \mathrm {Mat} (r,p,R)$ выполнено $(b\cdot a)^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!=a^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot b^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}$ и, если $n=r$, то $\mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)$;
  (2) для любых $a\in\mathrm{GL}(n,R)$ выполнено $(a^{-1})^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!=(a^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}})^{-1}$, а также для любых $v,w\in R^n$ выполнено $v^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot w=v^{1}\,w^{1}+\ldots +v^{n}\,w^{n}$.

• Симметричные и антисимм. матрицы: $\mathrm {SMat} (n,R)=\{a\in \mathrm {Mat} (n,R)\mid a^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!=a\}$ и $\mathrm {AMat} (n,R)=\{a\in \mathrm {Mat} (n,R)\mid a^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!=-a\,\land \,a_{1}^{1}=\ldots =a_{n}^{n}=0\}$.
• Определитель квадр. матрицы $a$ над коммут. кольцом: $\det a=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}a^{j_1}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{j_n}_n=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n\!$. Расстановки ладей и $\det$.
• Ориентированная (со знаком) площадь ($v,w\in \mathbb {R} ^{2}$): $\det \!{\bigl (}v\;\,w{\bigr )}$, ориентир. объем ($u,v,w\in \mathbb {R} ^{3}{}$): $\det \!{\bigl (}u\;\,v\;\,w{\bigr )}$. Лемма об определителе набора столбцов.

  Лемма об определителе набора столбцов. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $n\in \mathbb {N} _{0}$, $v_1,\ldots,v_n,v,v'\!\in R^n$ и $c,c'\!\in R$; тогда
  (1) $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,c\,v+c'v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\!=c\,\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v\;\;v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\!+c'\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\bigr)$;
  (2) если среди столбцов $v_{1},\ldots ,v_{n}$ есть равные, то $\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)\!=0$;
  (3) для любых $j_1,\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}$ выполнено $\det\bigl(v_{j_1}\;\ldots\;v_{j_n}\bigr)\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\!\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)$.

• Теорема о свойствах определителя. Пусть $R$ — коммутативное кольцо и $n\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Mat} (n,R)&\to R\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм моноидов по умножению, а также $\,\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\}$ (доказат.-во только $\,\subseteq$);
  (2) для любых $a,b\in\mathrm{Mat}(n,R)$ и $v_{1},\ldots ,v_{n}\in R^{n}$ выполнено $\det\bigl(a\cdot v_1\;\ldots\;a\cdot v_n\bigr)\!=\det a\cdot\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)$, а также $\,b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}$;
  (3) для любых $a\in \mathrm {Mat} (n,R)$ выполнено $\det a^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!=\det a$;
  (4) для любых $n',n''\!\in \mathbb {N} _{0}$, $a'\!\in\mathrm{Mat}(n',R)$, $a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',R)$ и $b\in \mathrm {Mat} (n',n'',R)$ выполнено $\det\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''$.
• Специальная линейн. группа: $\mathrm {SL} (n,R)=\{a\in \mathrm {Mat} (n,R)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (n,R)$. Геом. смысл: $a\in\mathrm{SL}(n,R)$$\,\,\Leftrightarrow\;$${\bigl (}$$\mathrm {lm} _{a}$ сохраняет ориент. объем${\bigr )}$.
• Ортогональная группа: $\mathrm {O} (n)=\{a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )\mid a^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot a=\mathrm {id} _{n}\}\leq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$. Унитарная группа: $\mathrm {U} (n)=\{a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )\mid a^{\scriptscriptstyle {\mathsf {T}}}\!\cdot {\overline {a}}=\mathrm {id} _{n}\}\leq \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$.
• Специал. ортогон. и унит. группы: $\mathrm {SO} (n)=\mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )\cap \mathrm {O} (n)$ и $\mathrm {SU} (n)=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} (n)$. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.

  Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
  Отображение ${\Biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} {\bigr \}}\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\Biggr )}{}$ — изоморфизм колец, и отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {S} ^{1}\!=\mathrm {U} (1)&\to \mathrm {SO} (2)\\\cos \varphi +\sin \varphi \;\mathrm {i} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-{\sin \varphi }\\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм групп.

3.3  Действия групп на множествах, автоморфизмы групп, полупрямое произведение групп

• Действие $\pi$ группы $G$ на множ.-ве $X$ — гомоморфизм моноидов ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to \mathrm {Map} (X)\\g&\mapsto \pi _{g}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Утверждение: $\forall\,g\in G\;\bigl(\pi_g\!\in\mathrm{Bij}(X)\bigr)$. Обозначение: $g\,x=\pi _{g}(x)$.
• Примеры: группы матриц действуют на $\mathbb {R} ^{n}$, $G$ действует на $G/H$ умнож.-ем слева и на $G$ сопряжением. Теорема Кэли. Точное действие: $\pi$ — инъекция.

  Теорема Кэли. Пусть $G$ — группа; для любых $g\in G$ обозначим через $\mathrm {lm} _{g}$ отображ.-е ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда отображ.-е $\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Bij}(G)\\g&\mapsto\mathrm{lm}_g\end{align}\!\biggr)$ определено
  корректно и является инъективным гомоморфизмом групп (и, значит, $G\cong \{\mathrm {lm} _{g}\!\mid g\in G\}\leq \mathrm {Bij} (G)$).

• Орбита точки $x$: $Gx$ ($Gx=[x]_\sim$, где $\forall \,x,{\breve {x}}\in X\;{\bigl (}x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x{\bigr )}\!{\bigr )}$). Множество орбит: $X/G=\{Gx\mid x\in X\}$ — разбиение множ.-ва $X$.
• $G$-Множество — мн.-во с действием группы $G$. Гомоморфизмы $G$-множеств: $\mathrm {Hom} _{G}(X,Y)$. Однородное $G$-мн.-во (транзитивное действие): $|X/G|=1$.
• Стабилизатор точки $x$: $\mathrm {St} _{G}(x)=\{g\in G\mid g\,x=x\}$. Свободное $G$-мн.-во: $\forall \,x\in X\;{\bigl (}\mathrm {St} _{G}(x)=\{1\}{\bigr )}$ ($\Leftrightarrow \,\forall \,g,{\breve {g}}\in G,\,x\in X\;{\bigl (}g\,x={\breve {g}}\,x\,\Rightarrow \,g={\breve {g}}{\bigr )}$).
• Торсор над $G$ — однородное свободное $G$-мн.-во. Неподвижные точки элем.-та $g$: $\mathrm {Fix} _{X}(g)=\{x\in X\mid g\,x=x\}$. Теорема о стабилизаторах и орбитах.

  Теорема о стабилизаторах и орбитах. Пусть $G$ — группа, $X$ — $G$-множество и $x\in X$; тогда
  (1) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G/\,\mathrm {St} _{G}(x)&\to X\\g\,\mathrm {St} _{G}(x)&\mapsto g\,x\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно, является инъективным гомоморфизмом $G$-множеств и его образ есть $Gx$, а также,
  если $|G|<\infty$, то $|G|=|Gx|\,|\mathrm{St}_G(x)|$ (и, значит, $|Gx|$ делит $|G|$);
  (2) если $|G|<\infty$, то $|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|\mathrm {Fix} _{X}(g)|$ (это лемма Бернсайда).

• Группа автоморфизмов: $\mathrm {Aut} (G)$. Пример: $\mathrm {Aut} ((\mathbb {Z} /n)^{+})\cong (\mathbb {Z} /n)^{\times }$. Группа внутренних автоморф.-в: $\mathrm {Inn} (G)=\{{\bigl (}x\mapsto g\,x\,g^{-1}{\bigr )}\!\mid g\in G\}\leq \mathrm {Aut} (G)$.
• Центр: $\mathrm {Z} (G)=\{g\in G\mid \forall \,x\in G\;{\bigl (}g\,x=x\,g{\bigr )}\}\trianglelefteq G$. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Коммутатор элементов: $[g_{1},g_{2}]=g_{1}\,g_{2}\,g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}$.

  Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Пусть $G$ — группа; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to \mathrm {Aut} (G)\\g&\mapsto {\bigl (}x\mapsto g\,x\,g^{-1}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп, его ядро
  есть $\,\mathrm {Z} (G)$ и его образ есть $\,\mathrm {Inn} (G)$ (и, значит, $G/\,\mathrm {Z} (G)\cong \mathrm {Inn} (G)$), а также $\,\mathrm {Inn} (G)\trianglelefteq \mathrm {Aut} (G)$.

• Коммутант группы $G$: $[G,G]=\bigl\langle\{[g_1,g_2]\mid g_1,g_2\in G\}\bigr\rangle$. Утверждение: $[G,G]\trianglelefteq G$. Абелианизация группы $G$: $G^{\mathsf {ab}}\!=G/[G,G]$ — абелева группа.
• Полупрямое произведение $F\underset\pi\leftthreetimes H$ относит.-но действия $\pi$, где $\pi \in \mathrm {Hom} (H,\mathrm {Aut} (F))$: $F\times H$ с умножением $(f_{1},h_{1})\,(f_{2},h_{2})=(f_{1}\,\pi _{h_{1}}\!(f_{2}),h_{1}\,h_{2})$.
• Утверждение: $\biggl(\!\begin{align}F\underset\pi\leftthreetimes H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{align}\!\biggr)$ — гомоморфизм групп. Пример: ${\bigl \{}{\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {R} &\to \mathbb {R} \\x&\mapsto a\,x+z\end{aligned}}\!{\biggr )}\!\mid a,z\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0{\bigr \}}\cong \mathbb {R} ^{+}\,{\underset {\pi }{\leftthreetimes }}\,\mathbb {R} ^{\times }$, где $\forall \,a\in \mathbb {R} ^{\times }{\bigl (}\pi _{a}={\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {R} &\to \mathbb {R} \\z&\mapsto a\,z\end{aligned}}\!{\biggr )}{\bigr )}$.
• Теорема о полупрямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$; обозначим через $\mathrm {mult}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) $\exists\,\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))\;\bigl(\mathrm{mult}\in\mathrm{Hom}(F\underset\pi\leftthreetimes H,G)\bigr)\Leftrightarrow\,\forall\,h\in H\;\bigl(h\,F\,h^{-1}\!\subseteq F\bigr)$, $\mathrm {mult} ^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} =FH$;
  (2) $\exists\,\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))\;\bigl(\mathrm{mult}\in\mathrm{Iso}(F\underset\pi\leftthreetimes H,G)\bigr)\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,h\in H\;\bigl(h\,F\,h^{-1}\!\subseteq F\bigr)$;
  (3) если $|G|<\infty$, то в пункте (2) условие «$G=FH\!$» можно заменить на условие «$|G|=|F|\,|H|\!$».

3.4  Делимость в коммутативных кольцах и евклидовы кольца

• Главный идеал — идеал вида $(r)$. Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные. Пример неглавн. идеала: $(2)+(x)$ в $\mathbb {Z} [x]$.
• Наибольший относ.-но $|$ общий делитель $r$ и $s$: $\mathrm{gcd}(r,s)$; наименьшее относ.-но $|$ общее кратное $r$ и $s$: $\mathrm{lcm}(r,s)$; $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ опр.-ны с точностью до ${\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}$.
• Нормировка $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ (если они не $0$) в $\mathbb {Z}$ и $K[x]$: $\mathrm{gcd}(a,b)\in\mathbb N$ и $\mathrm{lcm}(a,b)\in\mathbb N$ — в $\mathbb {Z}$, многочлены $\mathrm {gcd} (f,g)$ и $\mathrm {lcm} (f,g)$ нормированы — в $K[x]$.
• Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть $R$ — коммутативное кольцо и $r,s\in R$; тогда
  (1) $s\,|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subseteq (s)$, $s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subset (s)$, $r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\,\Leftrightarrow\,(r)=(s)$, $r\in R^\times\Leftrightarrow\,r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim1\,\Leftrightarrow\,(r)=R$;
  (2) если идеал $(r)+(s)$ главный, то $(r)+(s)=(\mathrm{gcd}(r,s))$, и, если идеал $(r)\cap(s)$ главный, то $(r)\cap(s)=(\mathrm{lcm}(r,s))$;
  (3) если в кольце $R$ все идеалы главные, то $\mathrm{gcd}(r,s)$ и $\mathrm{lcm}(r,s)$ существуют, а также $(R/(r))^\times\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim1\}$.
• Евклидова норма — такая функция $\nu\,\colon R\to\mathbb N_0\cup\{-\infty\}$, что относ.-но $\nu$ можно делить с остатком на ненул. эл.-ты и $\nu$ не убывает относ.-но $|$ на $R\!\setminus\!\{0\}$.
• Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: $\mathbb {Z}$ ($\nu (a)=|a|$), $K[x]$ ($K$ — поле, $\nu (f)=\deg f$), $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ и $\mathbb {Z} [\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }]$ ($\nu (a)=|a|^{2}$).
• Теорема о евклидовых кольцах. Пусть $R$ — евклидово кольцо с евклидовой нормой $\nu$; тогда
  (1) для любых $r\in R\!\setminus \!\{0\}$ и $s\in R$ выполнено $s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow \,\nu (s)<\nu (r)$;
  (2) в $R$ невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в $R$ не существует такой бесконечной послед.-сти $r_{1},r_{2},\ldots$, что $\forall\,i\in\mathbb N\;\bigl(r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i\bigr)$);
  (3) если $I\trianglelefteq R$, то для любых $r\in I\!\setminus \!\{0\}$ выполнено $I=(r)\,\Leftrightarrow \,\nu (r)=\min\{\nu (s)\mid s\in I\!\setminus \!\{0\}\}$;
  (4) $R$ — область главных идеалов (в частности, $\mathbb {Z}$ и $K[x]$, где $K$ — поле, являются областями главных идеалов).
• Соотношение Безу для эл.-тов $r$ и $s$ евклидова кольца: $u\,r+v\,s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)$, где $u$ и $v$ — коэффициенты Безу. Нахождение $(s+(r))^{-1}$ в кольце $R/(r)$.
• Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: $r_{0}=s$ и $r_{1}=r$; на $i$-м шаге $r_{i-1}=q_{i}r_{i}+r_{i+1}$ и $\nu (r_{i+1})<\nu (r_{i})$; тогда, если $r_{n+1}=0$, то $r_n\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)$.
• Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: $r_n=-q_{n-1}r_{n-1}+r_{n-2}$; на $i$-м шаге $r_n=u_ir_i+v_ir_{i-1}$; тогда $r_n=u_1r+v_1s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)$.

3.5  Факториальные кольца и элементарная теория чисел

• Мн.-во неприводим. эл.-тов: $\mathrm{Irr}(R)=(R\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus\!R^\times\}$. Пример: $\mathrm {Irr} (\mathbb {Z} )=\mathbb {P} \cup (-\mathbb {P} )$. Утверждение: $0\notin \mathrm {Irr} (R)$ и $R^{\times }\!\cdot \mathrm {Irr} (R)\subseteq \mathrm {Irr} (R)$.
• Теорема о неприводимых элементах и факторкольцах. Пусть $R$ — область целостности и $r\in R\!\setminus \!\{0\}$; тогда
  (1) если $R/(r)$ — область целостности, то $r\in \mathrm {Irr} (R)$;
  (2) если $R$ — область главных идеалов, то след. утвержд.-я эквивалентны: (у1) $r\in \mathrm {Irr} (R)$, (у2) $R/(r)$ — область целостности, (у3) $R/(r)$ — поле.
• Факториальное кольцо — обл. цел.-сти с единств. (с точн.-ю до ${\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}$ и перестановок) разложением любого ненул. эл.-та в произвед.-е неприводимых эл.-тов.
• Примеры: $\mathbb {Z}$ — факториал. кольцо (это основная теорема арифметики); если $R$ факториально, то $R[x]$ факториально (без доказ.-ва; см. § 2 главы 4 в [4]).
• Теорема о достаточных условиях факториальности. Пусть $R$ — область целостности; тогда
  (1) если в $R$ невозможна бесконечная строгая делимость и $\,\forall \,r\in \mathrm {Irr} (R)\;{\bigl (}$$R/(r)$ — область целостности${\bigr )}{}$, то $R$ — факториальное кольцо;
  (2) если $R$ — евклидово кольцо, то $R$ — факториальное кольцо (в частности, $\mathbb {Z}$ и $K[x]$, где $K$ — поле, являются факториальными кольцами).
• Теорема о делимости в факториальных кольцах. Пусть $R$ — факториальное кольцо и $r,s\in R\!\setminus \!\{0\}$; разложим $r$ и $s$ в произв.-е неприводимых эл.-тов:
  $r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}$ и $s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{e_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k}$, где $k\in \mathbb {N} _{0}$, $p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathrm {Irr} (R)$, $p_{1},\ldots ,p_{k}$ попарно неассоциированы и $d_{1},\ldots ,d_{k},e_{1},\ldots ,e_{k}\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) $s\,|\,r\;\Leftrightarrow \;\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}e_{i}\leq d_{i}{\bigr )}$ и $r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(d_i=e_i\bigr)$;
  (2) $\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\min(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)}$ и $\,\mathrm{lcm}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\max(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}$.
• Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть $k\in \mathbb {N} _{0}$, $n_{1},\ldots ,n_{k}\in \mathbb {N}$ и $n_{1},\ldots ,n_{k}$ попарно взаимно просты (то есть $\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}$
  $\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(n_i,n_j)=1\bigr)$); тогда отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathbb Z/(n_1\cdot\ldots\cdot n_k)&\to\mathbb Z/n_1\times\ldots\times\mathbb Z/n_k\\a&\mapsto(a\;\mathrm{mod}\;n_1,\ldots,a\;\mathrm{mod}\;n_k)\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм колец.
• Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $f_{1},\ldots ,f_{k}\in K[x]\!\setminus \!\{0\}$ и $f_{1},\ldots ,f_{k}$ попарно взаимно просты (то есть
  $\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}i\neq j\,\Rightarrow \,\mathrm {gcd} (f_{i},f_{j})=1{\bigr )}$); тогда отображение $\biggl(\!\begin{align}K[x]/(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)&\to K[x]/f_1\times\ldots\times K[x]/f_k\\a&\mapsto(a\;\mathrm{mod}\,f_1,\ldots,a\;\mathrm{mod}\,f_k)\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм колец.
• Функция Эйлера от $n$: $\phi (n)=|\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \mathrm {gcd} (a,n)=1\}|$. Пример: если $p\in \mathbb {P}$ и $d\in \mathbb {N}$, то $\phi (p^{d})=p^{d-1}(p-1)$. Утверждение: $\phi(n)=|(\mathbb Z/n)^\times|$.
• Теорема о свойствах функции Эйлера.
  (1) Пусть $n\in \mathbb {N}$, $a\in \mathbb {Z}$ и $\mathrm {gcd} (a,n)=1$; тогда $a^{\phi (n)}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;n)$ (это теорема Эйлера).
  (2) Пусть $m,n\in \mathbb {N}$ и $\mathrm {gcd} (m,n)=1$; тогда $\phi (mn)=\phi (m)\,\phi (n)$.
  (3) Пусть $n\in \mathbb {N}$; разложим $n$ в произведение простых чисел: $n=p_{1}^{d_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}}$, где $k\in \mathbb {N} _{0}$, $p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {P}$, $p_{1},\ldots ,p_{k}$ попарно различны и
  $d_{1},\ldots ,d_{k}\in \mathbb {N}$; тогда $\phi (n)=p_{1}^{d_{1}-1}(p_{1}-1)\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}-1}(p_{k}-1)=n\,{\Bigl (}1-{\frac {1}{p_{1}}}{\Bigr )}\cdot \ldots \cdot {\Bigl (}1-{\frac {1}{p_{k}}}{\Bigr )}$.

3.6  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби

• Производная многочлена: $(f_nx^n+\ldots+f_0)'\!=nf_nx^{n-1}+\ldots+f_1$. Правило Лейбница. Пусть $R$ — кольцо и $f,g\in R[x]$; тогда $(fg)'\!=f'g+f\,g'$.
• Корень $r$ кратности $k$ многочл. $f$ ($k\in \mathbb {N} _{0}$): $(x-r)^k\,|\,f\,\land\,\lnot\bigl((x-r)^{k+1}\,|\,f\bigr)$ ($\Leftrightarrow\;\exists\,g\in R[x]\;\bigl(f=(x-r)^kg\,\land\,g(r)\ne0\bigr)$). Теорема о кратных корнях.

  Теорема о кратных корнях. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f\in R[x]$ и $r\in R$; тогда
  (1) $r$ — кратный корень многочлена $f$ (то есть корень кратности не меньше $2$), если и только если $r$ — корень многочленов $f$ и $f'$;
  (2) если $R$ — обл. целостности, $k\in \mathbb {N}$, $\mathrm {char} \,R$ не делит $k$ и $r$ — корень кратности $k$ многочлена $f$, то $r$ — корень кратности $k-1$ многочлена $f'$.

• Теорема об интерполяции. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$, $c_{1},\ldots ,c_{n},e_{1},\ldots ,e_{n}\in K$ и $c_{1},\ldots ,c_{n}$ попарно различны; тогда существует единственный
  такой многочлен $f\in K[x]$, что $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(f(c_i)=e_i\bigr)$ и $\deg f<n$, и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
  (1) $f=\sum _{i=1}^{n}e_{i}l_{i}$, где $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\biggl (}l_{i}={\frac {(x-c_{1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{i-1})\cdot (x-c_{i+1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{n})}{(c_{i}-c_{1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{i-1})\cdot (c_{i}-c_{i+1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{n})}}{\biggr )}$ (это интерполяционная формула Лагранжа);
  (2) $f=f_{n}$, где $f_{0}=0$ и $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\biggl (}f_{i}=f_{i-1}+{\bigl (}e_{i}-f_{i-1}(c_{i}){\bigr )}{\frac {(x-c_{1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{i-1})}{(c_{i}-c_{1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{i-1})}}{\biggr )}$ (это интерполяционная формула Ньютона).
• Поле частных: $\mathrm {Q} (R)={\bigl (}R\times (R\!\setminus \!\{0\}){\bigr )}/{\sim }$, где $(r,s)\sim ({\breve {r}},{\breve {s}})\,\Leftrightarrow \,r{\breve {s}}={\breve {r}}s$ и $[(r,s)]_\sim\!+[(t,u)]_\sim\!=[(ru+st,su)]_\sim$, $[(r,s)]_\sim[(t,u)]_\sim\!=[(rt,su)]_\sim$.
• Теорема о поле частных. Отождествл.-е $r$ и $[(r,1)]_\sim$. Примеры: $\mathrm {Q} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Q}$, $K(x)=\mathrm {Q} (K[x])={\Bigl \{}{\frac {f}{g}}\!\mid f,g\in K[x],\,g\neq 0{\Bigr \}}$ — поле рационал. дробей.

  Теорема о поле частных. Пусть $R$ — область целостности; тогда отображение $\biggl(\!\begin{align}R&\to\mathrm Q(R)\\r&\mapsto[(r,1)]_\sim\end{align}\!\biggr)$ — инъективный гомоморфизм колец, а также
  для любых $r\in R$ и $s\in R\!\setminus \!\{0\}$ выполнено $[(r,s)]_\sim\!=\frac{[(r,1)]_\sim}{[(s,1)]_\sim}$ (и, значит, $\mathrm Q(R)=\Bigl\{\frac{[(r,1)]_\sim}{[(s,1)]_\sim}\!\mid r,s\in R,\,s\ne0\Bigr\}$).

• Правильная дробь: ${\frac {f}{g}}$ ($\deg f<\deg g$). Выделение правил. дроби. Несократимая запись: ${\frac {f}{g}}$ ($\mathrm {gcd} (f,g)=1$, $g$ нормир.). Приведение к несократ. записи.
• Примарная дробь: ${\frac {f}{h^{d}}}$ ($h\in \mathrm {Irr} (K[x])$, $h$ нормирован, $d\in \mathbb {N}$ и $\deg f<\deg h^{d}$). Простейшая дробь: примарная дробь ${\frac {f}{h^{d}}}$ с условием $\deg f<\deg h$.
• Метод неопределенных коэффициентов для разложения правильных дробей в сумму простейших дробей (доказ.-во корректности см. в § 4 главы 5 в [3]).