Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь
Подробный план второго модуля курса алгебры
3 Группы и кольца (часть 2)
3.1 Симметрические группы и символ Леви-Чивиты
- Транспозиции: (). Фундаментальные транспозиции: . Мн.-во инверсий: .
- Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
(1) ;
(2) если , то , и, если , то . - Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа , упорядоч. по
неубыванию (то есть и ); тогда
(1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
(2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что . - Символ Леви-Чивиты: , если числа попарно различны; иначе . Пример: .
- Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: ; ().
Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
(1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это сюръективный гомоморфизм групп;
(2) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
(3) для любых выполнено , где — количество циклов четной длины в цикловой записи перестановки ;
(4) для любых и выполнено . - Простая группа: и . Пример: если и , то — простая группа (без доказ.-ва; см. § 1 главы 2 в [4]).
- Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
неупорядоченные наборы длин циклов в цикловой записи перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны. - Задание группы образующими и соотношениями: порождена образ.-ми с соотн.-ми инволютивности, локальности и кос (без док.-ва).
3.2 Матрицы, столбцы, строки, определитель матрицы, группы матриц
- Множ.-ва матриц, столбцов, строк над кольцом : , , . Слож.-е матриц, умнож.-е матриц на скаляры.
- Умнож.-е матриц: . Кольцо , группа . Скалярные, диагональные, треугольные, блочные матрицы.
- Оператор умножения на матрицу : . Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями: , , .
- Столбцы и строки матрицы : и . Утверждение: , , , и .
- Транспонирование матрицы : . След квадратн. матрицы : . Линейность и . Теорема о свойствах транспонирования и следа.
Теорема о свойствах транспонирования и следа. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
(1) для любых и выполнено и, если , то ;
(2) для любых выполнено , а также для любых выполнено . - Симметричные и антисимм. матрицы: и .
- Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Расстановки ладей и .
- Ориентированная (со знаком) площадь (): , ориентир. объем (): . Лемма об определителе набора столбцов.
Лемма об определителе набора столбцов. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
(1) ;
(2) если среди столбцов есть равные, то ;
(3) для любых выполнено . - Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
(1) — гомоморфизм моноидов по умножению, а также (доказат.-во только );
(2) для любых и выполнено , а также ;
(3) для любых выполнено ;
(4) для любых , , и выполнено . - Специальная линейн. группа: . Геом. смысл: сохраняет ориент. объем.
- Ортогональная группа: . Унитарная группа: .
- Специал. ортогон. и унит. группы: и . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
Отображение — изоморфизм колец, и отображение — изоморфизм групп.
3.3 Действия групп на множествах, автоморфизмы групп, полупрямое произведение групп
- Действие группы на множ.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
- Примеры: группы матриц действуют на , действует на умнож.-ем слева и на сопряжением. Теорема Кэли. Точное действие: — инъекция.
Теорема Кэли. Пусть — группа; для любых обозначим через отображ.-е ; тогда отображ.-е определено
корректно и является инъективным гомоморфизмом групп (и, значит, ). - Орбита точки : (, где ). Множество орбит: — разбиение множ.-ва .
- -Множество — мн.-во с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: . Однородное -мн.-во (транзитивное действие): .
- Стабилизатор точки : . Свободное -мн.-во: ().
- Торсор над — однородное свободное -мн.-во. Неподвижные точки элем.-та : . Теорема о стабилизаторах и орбитах.
Теорема о стабилизаторах и орбитах. Пусть — группа, — -множество и ; тогда
(1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть , а также,
если , то (и, значит, делит );
(2) если , то (это лемма Бернсайда). - Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутренних автоморф.-в: .
- Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Коммутатор элементов: .
Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро
есть и его образ есть (и, значит, ), а также . - Коммутант группы : . Утверждение: . Абелианизация группы : — абелева группа.
- Полупрямое произведение относит.-но действия , где : с умножением .
- Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
- Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) ;
(3) если , то в пункте (2) условие «» можно заменить на условие «».
3.4 Делимость в коммутативных кольцах и евклидовы кольца
- Главный идеал — идеал вида . Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные. Пример неглавн. идеала: в .
- Наибольший относ.-но общий делитель и : ; наименьшее относ.-но общее кратное и : ; и опр.-ны с точностью до .
- Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
- Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
(1) , , , ;
(2) если идеал главный, то , и, если идеал главный, то ;
(3) если в кольце все идеалы главные, то и существуют, а также . - Евклидова норма — такая функция , что относ.-но можно делить с остатком на ненул. эл.-ты и не убывает относ.-но на .
- Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (), ( — поле, ), и ().
- Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) в невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в не существует такой бесконечной послед.-сти , что );
(3) если , то для любых выполнено ;
(4) — область главных идеалов (в частности, и , где — поле, являются областями главных идеалов). - Соотношение Безу для эл.-тов и евклидова кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
- Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда, если , то .
- Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
3.5 Факториальные кольца и элементарная теория чисел
- Мн.-во неприводим. эл.-тов: . Пример: . Утверждение: и .
- Теорема о неприводимых элементах и факторкольцах. Пусть — область целостности и ; тогда
(1) если — область целостности, то ;
(2) если — область главных идеалов, то след. утвержд.-я эквивалентны: (у1) , (у2) — область целостности, (у3) — поле. - Факториальное кольцо — обл. цел.-сти с единств. (с точн.-ю до и перестановок) разложением любого ненул. эл.-та в произвед.-е неприводимых эл.-тов.
- Примеры: — факториал. кольцо (это основная теорема арифметики); если факториально, то факториально (без доказ.-ва; см. § 2 главы 4 в [4]).
- Теорема о достаточных условиях факториальности. Пусть — область целостности; тогда
(1) если в невозможна бесконечная строгая делимость и — область целостности, то — факториальное кольцо;
(2) если — евклидово кольцо, то — факториальное кольцо (в частности, и , где — поле, являются факториальными кольцами). - Теорема о делимости в факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произв.-е неприводимых эл.-тов:
и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
(1) и ;
(2) и . - Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
); тогда отображение — изоморфизм колец. - Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
); тогда отображение — изоморфизм колец. - Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
- Теорема о свойствах функции Эйлера.
(1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
(2) Пусть и ; тогда .
(3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
; тогда .
3.6 Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
- Производная многочлена: . Правило Лейбница. Пусть — кольцо и ; тогда .
- Корень кратности многочл. (): (). Теорема о кратных корнях.
Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда
(1) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и ;
(2) если — обл. целостности, , не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена . - Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
(1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
(2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона). - Поле частных: , где и , .
- Теорема о поле частных. Отождествл.-е и . Примеры: , — поле рационал. дробей.
Теорема о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
для любых и выполнено (и, значит, ). - Правильная дробь: (). Выделение правил. дроби. Несократимая запись: (, нормир.). Приведение к несократ. записи.
- Примарная дробь: (, нормирован, и ). Простейшая дробь: примарная дробь с условием .
- Метод неопределенных коэффициентов для разложения правильных дробей в сумму простейших дробей (доказ.-во корректности см. в § 4 главы 5 в [3]).