Алгебра phys 1 осень 2017

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.

Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.

Дополнительная литература

[1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  Ю.И. Манин. Математика как метафора.

Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.

Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.

Содержание первого семестра курса алгебры

1   Множества, отображения, отношения
  • 1.1  Множества
    Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
    множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
  • 1.2  Отображения
    Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
    Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
  • 1.3  Отношения
    Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
    Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
2   Группы (часть 1)
  • 2.1  Множества с операцией
    Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Обозначения по
    Минковскому. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
  • 2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)
    Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
    Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
  • 2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
    Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
    элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
  • 2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
    Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
    Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
3   Кольца (часть 1)
  • 3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами
    Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
    гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
  • 3.2  Кольца многочленов
    Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков
    по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
  • 3.3  Поле комплексных чисел
    Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа . Экспонента.
    Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и .
  • 3.4  Тело кватернионов
    Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах
    кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
4   Кольца (часть 2)
  • 4.1  Делимость в коммутативных кольцах
    Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
    Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
  • 4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
    Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
    Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
  • 4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
    Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. Китайская
    теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
  • 4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
    Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных
    формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к
    несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
  • 4.5  Матрицы, столбцы, строки
    Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
    Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
5   Группы (часть 2)
  • 5.1  Символ Леви-Чивиты и симметрические группы
    Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах
    знака. Знакопеременные группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями.
  • 5.2  Определитель матрицы и группы матриц
    Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах
    определителя. Геометрический смысл определителя матрицы. Группа и ее геометрический смысл. Группа и ее геометрический
    смысл. Группы и . Группы и . Описание изометрий в . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
  • 5.3  Действия групп на множествах
    Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. -Множества. Гомоморфизмы -множеств. Орбиты. Транзитивные
    действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
  • 5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
    Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов. Коммутант.
    Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.


Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры

Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине первого семестра
  1. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
  2. Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах.
  3. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
  4. Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
  5. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
  6. Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
  7. Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов.
  8. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
  9. Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
  10. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
  11. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к несократимой записи.
  12. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
  13. Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
  14. Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
  15. Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
  16. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Знакопеременные группы.
  17. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями.
  18. Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов.
  19. Теорема о свойствах определителя. Геометрический смысл определителя матрицы.
  20. Группа и ее геометрический смысл. Группа и ее геометрический смысл. Группы и . Группы и .
  21. Описание изометрий в . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
  22. Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия.
  23. -Множества. Гомоморфизмы -множеств. Орбиты.
  24. Транзитивные действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры.
  25. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
  26. Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов.
  27. Коммутант. Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп.
  28. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.
Правила проведения экзамена
  • В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список
    вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций иили подробный план курса, так как их будет
    можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
  • Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
    столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 14, второй номер будет от 15 до 28) и затем
    начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
    «столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  • После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
    дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
    половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
  • При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
    использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).