Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск

Подробный план первого модуля курса алгебры

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы-
вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат
не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж-
дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку
этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь.
Ю.И. Манин. Математика и физика
Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и
становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались
чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих
закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем
и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а
не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.
П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1   Базовые понятия математики

1.1  Множества и отображения
  • Логические операции: — отрицание («не»), — дизъюнкция («или»), — конъюнкция («и»), — импликация («влечет»), — эквивалентность.
  • Множества, принадлежность. Задание множ.-ва перечислением элементов: . Пустое множ.-во: . Кванторы: и .
  • Включение: . Равенство множеств: . Строгое включение: .
  • Выделение подмножества: . Числовые множества: , , , , а также , и ().
  • Операции над множествами: — объединение, — пересечение, — разность, — прямое произведение. Свойства операций над множествами.
  • Порядок (количество элементов) мн.-ва : (). Множество подмножеств мн.-ва : . Прямая степень мн.-ва (): .
  • Отображения. Мн.-во отображений, действующих из в : . Область (область определения) и кообласть отобр.-я : и .
  • Образ множества относительно (): , прообраз множества относительно (): . Образ отображения : .
  • Сокращенная запись образа: . Сужения отображения ( и ): и .
  • Инъекции: . Сюръекции: .
  • Биекции: . Композиция отображений и : . Тождественное отображение: .
  • Теорема о композиции отображений. Отобр.-е , обратное к отобр.-ю : и . Единственность обратного отображения.

    Теорема о композиции отображений. Пусть — множества и ; тогда
    (1) , и, если — множества, и , то ;
    (2) если , то — инъекция, если и только если ;
    (3) — сюръекция, если и только если ;
    (4) — биекция, если и только если .

1.2  Отношения и операции
  • Отношения. Отн.-е эквивалентности на — такое отн.-е на , что .
  • Класс эквивалентности: . Утверждение: . Фактормножество: . Трансверсали.
  • Разбиение множества — такое подмн.-во в , что и . Утверждение: — разбиение.
  • Отношение : . Мн.-во слоев отобр.-я : (). Факторотображение — биекция.
  • Принцип Дирихле для отображений. Пусть — множества и ; тогда .
  • Множество с отношением : , где . Наименьший относ.-но элемент мн.-ва : . Единственность наименьшего эл.-та.
  • Минимальный относ.-но элемент мн.-ва : . Примеры наименьшего и минимальных относит.-но элементов.
  • Внутренняя -арная операция на множестве — отображение, действующее из в (нульарная операция на — выделенный элемент мн.-ва ).
  • Гомоморфизмы между множ.-вами с операцией: .
  • Изоморфизмы: . Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: . Автоморфизмы: .
  • Теорема о композиции гомоморфизмов. Операция над подмн.-вами (): .

    Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть и — множества с -арной операцией; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) для любых выполнено .

  • Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: , коммутативность (абелевость): .

2   Группы и кольца (часть 1)

2.1  Полугруппы, моноиды, группы (основные определения и примеры)
  • Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.

    Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть — полугруппа, и ; тогда значение выражения не зависит от
    расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

  • Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
  • Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций , моноиды отображений , моноиды слов и .
  • Обратимые элементы: . Единственность обратного элемента. Утверждение: .
  • Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы: . Группа ( — моноид). Таблица Кэли.
  • Примеры: числовые группы, группы остатков и , группы функций , группы биекций , свободные группы .
  • Группа изометрий плоскости: .
  • Симметрические группы: . Способы записи перестановок: полная запись, запись в виде послед.-сти значений, цикловая запись.
  • Лемма о циклах. [доказ.-во на семинарах] Пусть , и попарно различны, а
    также ; тогда , а также .
  • Степени эл.-та группы. Мультипликативные обозначения: , , и . Аддитивные обозн.-я в абелевой (коммутативной) группе: , , и .
2.2  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
  • Подгруппа: . Подгруппа, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но подгруппа, содержащая .
  • Утверждение: (в частности, ). Пример: .
  • Отношения и (): () и (). Утверждение: и .
  • Множества классов смежности: и . Теорема Лагранжа. Индекс: .

    Теорема Лагранжа. Пусть — группа, и ; тогда (и, значит, делит ).

  • Порядок элемента: (). Утверждение: пусть ; тогда .
  • Лемма о порядке элемента. Пусть — группа и ; тогда и, если , то делит и .
  • Теорема об обратимых остатках.
    (1) Пусть ; тогда (в частности, если , то ).
    (2) Пусть , и не делит ; тогда (это малая теорема Ферма).
  • Циклическая группа: . Примеры: для любых , , для некоторых . Теорема о циклических группах.

    Теорема о циклических группах. Пусть — циклическая группа и ; тогда, если , то , и, если , то .

2.3  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
  • Нормальная подгруппа: . Пример: если , то .
  • Сопряжение при помощи эл.-та : . Отнош.-е сопряженности: и сопряжены. Классы сопряженности.
  • Нормальная подгруппа, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но нормальная подгруппа, содержащая . Утверждение: .
  • Ядро и образ гомоморфизма : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

    Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть — группы и ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) — инъекция, если и только если .

  • Факторгруппа: с фактороперациями (). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: .

    Теорема о гомоморфизме. Пусть — группы и ; тогда .

  • Задание групп образующими и соотношениями (): . Пример: .
  • Прямое произведение групп: с покомпонентными операциями. Утверждение: и — гомоморфизмы групп.
  • Теорема о прямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие «» можно заменить на условие «».
2.4  Определения и конструкции, связанные с кольцами
  • Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
  • Примеры: числовые кольца, кольца остатков , кольца функций . Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца : и .
  • Подкольцо: . Подкольцо, порожд. мн.-вом : (в частности, ).
  • Идеал: . Идеал, порожденный мн.-вом : . Пример: если — коммут. кольцо и , то .
  • Ядро и образ гомоморфизма : и . Факторкольцо: с фактороперациями (). Корректность. Теорема о гомоморфизме.

    Теорема о гомоморфизме. Пусть — кольца и ; тогда .

  • Прямое произв.-е колец: с покомпонент. операциями. Характеристика кольца : , если ; иначе .
  • Кольцо без делителей нуля: и . Область целостности — коммутативное кольцо без делителей нуля.
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : , , .
  • Утверждение: пусть — обл. цел., и ; тогда и . Обознач.-е в обл. цел.-сти.
  • Тело: . Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, конечные поля , где . Подполя.
2.5  Кольца многочленов
  • Моноид одночленов от над кольцом : . Степень одночлена: (где ) и .
  • Кольцо многочленов от над кольцом : . Степень многочлена. Лемма о степени многочлена.

    Лемма о степени многочлена. Пусть — кольцо без делителей нуля и ; тогда , а также .

  • Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть — коммутативное кольцо, и старший коэффициент многочлена обратим; тогда
    существуют единственные такие многочлены , что и (обозначения: и ).
  • Кольцо остатков по модулю многочлена ( — поле, ): . Утверждение: .
  • Неприводимые многочл. ( — обл. цел.): . Пример: если — поле и , то .
  • Сопост.-е многочлену полиномиал. функции — гомоморфизм (, ).
  • Сокращенная запись: . Корень многочлена в кольце : . Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.

    Теорема Безу. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда (и, значит, ).

    Теорема о количестве корней многочлена. Пусть — область целостности и ; тогда , а также,
    если , то существует такой элемент , что (и, значит, — инъекция).

  • Теорема Виета. Пусть — кольцо, , и ; тогда для
    любых выполнено (в частности, и ).
2.6  Поле комплексных чисел
  • Кольцо комплексных чисел: , где . Изображение комплексных чисел на координатной плоскости.
  • Вещественная часть и мнимая часть: и . Сопряжение: . Модуль: .
  • Теорема о свойствах комплексных чисел.
    (1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — поле).
    (2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — автоморфизм поля ).
    (3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
  • Группа : . Утверждение: . Экспонента от компл. числа : . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    (1) Для любых выполнено , а также и .
    (2) Для любых выполнено (и, значит, и ).

  • Тригонометрическая запись: . Группа корней -й степ. из : .
  • Первообразные корни -й степени из . Корни -й степени из : .
  • «Основная теорема алгебры»: — алгебраически замкнутое поле, то есть (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
  • Теорема о неприводимых многочленах над полями C и R.
    (1) Пусть , и ; тогда .
    (2) и .