Алгебра phys 1 февраль–март

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск

Подробный план третьего модуля курса алгебры

Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-
научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-
щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического
анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-
нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство
приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.
Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности
малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы
является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной
алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной
двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-
лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.
А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия

4   Векторные пространства

4.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
  • Векторное пространство над полем — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из . Свойства операций в векторных пространствах.
  • Примеры: простр.-ва столбцов и строк , простр.-ва матриц , простр.-ва многочленов , простр.-ва функций и финитных функций.
  • Множ.-во линейных операторов (гомоморфизмов вект. пр.-в): — вект. простр.-во. Кольцо , группа .
  • Подпростр.-во: . Подпр.-во, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но подпр.-во, содержащ. .
  • Лин. комбинация эл.-в мн.-ва : (). Утверждение: .
  • Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.

    Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над и ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) — инъекция, если и только если .

  • Матричная запись системы из линейных уравн.-й от переменных: (, , ). Однородная система: .
  • Аффинные операторы: , где . Аффинные подпростр.-ва: , где ; — направляющее подпр.-во для .
4.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
  • — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. и порожд. мн.-во.
  • Стандартные базисы простр.-в и : и . Утверждение: — завис. мн.-во, если и только если .
  • Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) — базис пространства ;
    (у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
    (у3) для любого вектора существует единственная такая финитная функция , что ;
    (у4) — максимальное независимое множество (то есть — независимое мн.-во и для любых мн.-во не является независимым);
    (у5) — минимальное порождающее множество (то есть — порождающее мн.-во и для любых мн.-во не является порождающим).
  • Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — векторное пространство над , и ; тогда,
    если — независимое множество и , то , и, если и — базисы пространства , то .
  • Теорема о существовании базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над , — независимое подмножество в и — порождающее
    подмножество в , а также в существует конечное порождающее подмножество; тогда
    (1) существует такой базис пространства , что (и, значит, дополняя до базиса множество , получаем, что в существует базис);
    (2) существует такой базис пространства , что (и, значит, выделяя базис из множества , получаем, что в существует базис).
  • Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — вект. простр.-ва над и — базис простр.-ва ; тогда для любых
    существует единственный такой , что (и, значит, — изоморфизм вект. пространств).
  • Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пространства над , — базис простр.-ва и ; тогда
    (1) — инъекция, если и только если все , где , попарно различны и — независимое множество;
    (2) — сюръекция, если и только если — порождающее множество;
    (3) — изоморфизм, если и только если все , где , попарно различны и — базис.
4.3  Размерность, координаты, замена координат
  • Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , и .
  • Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над и ; тогда
    (1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
    (2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
    (3) для любого подпространства в выполнено и, если , то .
  • Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над и ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если ;
    (3) , если и только если ;
    (4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов),
    а также для любых и выполнено .
  • Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора: . Утверждение: . Изоморфизм векторных простр.-в .
  • Матрица лин. опер. : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм вект. пр. и колец .

    Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над ; тогда
    (1) если , , и , то , а также отображение
    — изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
    (2) если , , и , то .

  • Матрица замены коорд. (): . Пример: (, ). Утверждение: и .
  • Преобраз.-е столбца коорд. вектора: ; покомпонентная запись: . Преобраз.-е базиса: ( — матрица перехода).
  • Преобраз.-е матрицы лин. оператора: ; случай , , : ; покомпон. запись: .
4.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
  • Факторпространство: с фактороперациями (). Корректность определ.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: .

    Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над и ; тогда .

  • Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над и ; тогда
    (1) если — базис пр.-ва , — базис пр.-ва и , то все , где , попарно различны и — базис пр.-ва ;
    (1') если , то ;
    (2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа).
  • Прямая сумма : с покомпон. операциями. Операторы вложения и проекции: и .
  • Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над , и ; обозначим через отображение
    (ясно, что — линейный оператор); тогда
    (1) если — базисы пространств соответственно, то — базис
    пространства (и, значит, если дополнительно — изоморфизм, то — базис пространства );
    (1') если , то ;
    (2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) ,
    (у3) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие «» можно заменить на условие «»;
    (4) если и , то (это формула Грассмана).
  • Внутренняя прямая сумма: . Лемма об инвариантном подпространстве. Прямая сумма матриц.

    Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть — поле, — векторное простр.-во над , , , и
    (то есть -инвариантное подпространство в ), а также и ; тогда
    (1) существуют такие , , и , что ;
    (2) если , и , то существуют такие , и , что .

  • Двойственное пр.-во: . Двойств. базис (, ): . Строка координат ковектора: .
  • Утверждение: и . Изоморфизм . Преобраз.-я при замене базиса: , и .
  • Двойственный оператор (): . Утверждение: если , то — изоморфизм вект. пр.-в.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ
(в таблице — поле, — векторное пространство над , и )
Инвариантный объектКоординаты
относительно базиса
Преобразование координат
при замене базиса
Пример использования
в непрерывной математике
вектор
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм
векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
преобразование базиса:
скорость в точке
гладкой кривой
в нормированном пространстве
ковектор
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм
векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
преобразование базиса:
дифференциал в точке
гладкой функции (скалярного поля)
на нормированном пространстве
эндоморфизм
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм векторных
пространств и колец)
матричная запись:
покомпонентная запись:
дифференциал в точке
гладкого отображения, действующего
из нормированного пространства в себя

5   Линейные операторы

5.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
  • Ранг линейного оператора : . Ранги матрицы по столбцам и по строкам: и .
  • Утверждение: , и . Тензорное произв.-е вектора и ковектора : .
  • Утверждение: , и . Теорема о свойствах ранга. Утверждение: .

    Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, — векторные пространства над , и ; тогда
    (1) и ;
    (2) ;
    (3) сущ.-т такие и , что (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду)
    (матричн. формулировка: для любых и сущ.-т такие и , что );
    (4) (матричная формулировка: для любых и выполнено ).

  • Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): (, ). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): ().
  • Элементарные преобр.-я над строками 1-го типа и 2-го типа: и . Элементарные преобр.-я над столбцами.
  • Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Приведение матрицы к строго ступенч. виду.

    Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) существуют такие и элементарные матрицы размера на над , что — ступенчатая матрица;
    (2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства (и, значит, их количество равно ).

  • Метод Гаусса для реш.-я системы . Главные и свободные перем.-е. Нахождение базиса (фундамент. системы решений) в .
  • Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
    (1) и, если , то ;
    (2) , а также, если , то , и, если , то
    — аффинное подпространство в с направляющим подпространством .
5.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
  • Пространства полилинейных операторов и . Пространства полилинейных форм и .
  • Простр.-ва билинейн. операторов и . Простр.-ва билинейн. форм и . Примеры полилин. операторов и форм.
  • Перестановка аргументов форм: . Действие группы : .
  • Пространство симметричных полилинейных форм: .
  • Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
  • Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над и ; тогда
    (1) ;
    (2) и, если
    , то «» можно заменить на «».
  • Простр.-во форм объема: , где . Форма объема, связанная с упорядоч. базисом : .
  • Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , и ; тогда
    (1) , и для любых выполнено ;
    (2) множество — базис пространства (и, значит, ) и для любых выполнено ;
    (3) для любых и выполнено .
5.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
  • Определитель лин. оператора (): , где и . Корректность опред.-я.
  • Утверждение: . Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: .

    Теорема о свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное простр.-во над и ; тогда отображение
    гомоморфизм моноидов по умножению, а также .

  • Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
  • Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Сравнение эффективности явных формул для нахождения , , и метода Гаусса.

    Теорема о присоединенной матрице. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда
    (1) для любых выполнено и (в частности, для любых
    выполнено и ; это формулы разложения определителя матрицы по строкам и по столбцам);
    (2) и, если , то (и, значит, ).

    Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .

  • Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
    что в матрице существует такая подматрица размера на , что (то есть ).
  • Собственные число и вектор лин. операт. : . Спектр лин. опер. : . Лемма о спектре.

    Лемма о спектре. Пусть — поле, — векторное пространство над и ; тогда и,
    если , то «» можно заменить на «».

  • Характеристический многочлен матрицы : . Характеристический многочлен лин. оператора : . Корректность опред.-я.
  • Утверждение: . След лин. оператора : . Корректность опр.-я. Теорема о характеристическом многочлене.

    Теорема о характеристическом многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над , и ; тогда
    и, если и , то и .

5.4  Многочлены и ряды от линейных операторов
  • Эвалюация — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором : .
  • Минимальный многочлен лин. операт. : , нормирован, ; .
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: . Утверждение: пусть — нильпот. лин. оператор; тогда .

    Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над , и ; тогда .

  • Алгебраическая и безымянная кратности: , — кратности как корня многочлена и многочлена . Теорема о минимальном многочлене.

    Теорема о минимальном многочлене. Пусть — поле, — векторное простр.-во над , и ; тогда делит (и, значит,
    для любых выполнено ), а также .

  • Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над и ; тогда
    (1) если , то (то есть -инвариантное подпространство в );
    (2) если и делит , то ;
    (3) если , и многочлены попарно взаимно просты, то
    (и, значит, ).
  • Проектор (идемпотент): (). Отражение: (, если ).
  • Ряд от лин. оператора ( — нормир. пр.-во): . Достат. условие сходимости ( — банах. пр.-во, ): .
  • Экспонента от непрерывн. лин. оператора в банаховом пр.-ве: . Пример: . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    Пусть — банахово пр.-во; тогда для любых выполн. , а также и .

5.5  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
  • Собственные подпростр.-ва: ; геометрическая кратность: . Лемма о собственных подпространствах.

    Лемма о собственных подпространствах. Пусть — поле, — в. пр. над , , , и попарно разл.; тогда
    (1) ;
    (2) если и — независимые множества, то — независимое множество;
    (3) если , то для любых выполнено .

  • Теорема о диагонализации линейных операторов. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , и ; тогда след. утверждения
    эквивалентны: (у1) — диагональная матрица, (у2) , (у3) , (у4) .
  • Обобщенные собственные подпростр.-ва: ; относительные геометр. кратности: .
  • Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. простр.-во над , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено и, если , то ;
    (2) для любых выполнено ;
    (3) и .
  • Корневые подпространства: . Нильпотентные части линейн. оператора : .
  • Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и многочлен расклад.-ся
    в произвед.-е многочленов степени в (если , то это условие выполнено для любых в силу алгебр. замкнутости поля );
    тогда , для любых выполнено (и, значит, — нильпот. лин. оператор) и .
  • Жорданова клетка: . Пример: если и , то и .
5.6  Жорданова нормальная форма линейного оператора
  • — независимое мн.-во относит.-но : . — порождающее мн.-во относит.-но : .
  • Базис относительно — независимое и порождающее мн.-во относительно . Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

    Первая теорема об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , и ; тогда следующие утвержд.-я эквивалентны:
    (у1) — базис пространства относительно ;
    (у2) — независимое множество и (и, значит, если , то );
    (у3) для любого вектора существуют единственные такие и , что ;
    (у4) — максимальное независимое множество относительно ;
    (у5) — минимальное порождающее множество относительно .

    Вторая теорема об относительных базисах. Пусть — поле, — векторное пространство над , и ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в