Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск

Подробный план шестого модуля курса алгебры

11   Тензоры (часть 2)

11.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
  • Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
  • Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
    и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
    (1) (напоминание: и );
    (2) и (далее пространства и отождествляются при помощи изоморфизма );
    (3) и (далее пространства и отождествляются при помощи изоморфизма ).
  • Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.

    Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над и ; тогда
    (1) для любых выполнено и ;
    (2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
    (3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ).

  • Симметр. и внешнее произв.-я векторов: и . Пример: .
  • Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
    (1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
    (2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор.
  • Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
    (1) для любых существует единственный такой , что ;
    (2) для любых существует единственный такой , что .
  • Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над и , а
    также и ; тогда
    (1) все , где и , попарно различны и
    базис пространства , а также ;
    (2) все , где и , попарно различны и
    базис пространства , а также .
  • Симметрическ. и внешняя степени лин. оператора (): и .
11.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
  • Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
  • Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
  • Симметрич. и внешнее произвед.-я в коорд.: и .
  • Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над ,
    и , а также , и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и ;
    (3) и
    (симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
    (4) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно);
    (5) и .
  • Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантн. тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
  • Внешняя алгебра (алгебра антисимметричн. контравариантн. тензоров) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
  • Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр. над , и ; тогда
    (1) — базис алгебры , и для любых его элементов и
    выполнено , где числа суть числа , упорядоченные по неубыванию;
    (2) — базис алгебры , и для любых его элементов и
    выполнено , где суть , упоряд. по неубыв.-ю;
    (3) — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.
11.3  Операции над внешними формами
  • Теорема о внешнем произведении внешних форм. Пусть — поле, , — вект. пр. над , , , и
    ; тогда для любых выполнено и для любых
    выполнено .
  • Оператор внутреннего произв.-я с вект. : . Оператор в коорд.: .
  • Утверждение: . Продолж.-е по лин.-сти операт. до эндоморфизма пр.-ва .
  • Теорема о внутреннем произведении. Пусть — поле, , — вект. пр. над , и ; тогда — супердифференциров.-е
    алгебры (то есть для любых , и выполнено ) и .
  • Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр. с ориент.: ( — канон. форма объема).
  • Примеры: , (где ), , ().
  • Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено ;
    (2) для любых и попарно различных чисел выполнено , где
    и , а также .
  • Теорема об операторе Ходжа. Пусть — псевдоевклидово пространство сигнатуры с ориентацией, и ; для любых
    обозначим (для любого базиса в выполнено ); тогда
    (1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторн. пространств);
    (2) для любых выполнено и ;
    (3) для любых выполнено .

12   Многообразия

12.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями
  • -Мерная система координат на топол. пр.-ве — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в и ; отн.-е согласованности: — диффеоморфизм.
  • -Мерный атлас на — множество попарно согласованных -мерных систем координат на , области определения которых покрывают . Примеры.
  • -Мерное многообразие — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во с максимальным -мерным атласом . Примеры: открыт. мн.-ва в , .
  • Обозн.-е: . Отобр. между и гладкое в , если существ. такие и , что гладкое в .
  • Утверждение: гладкость отображения не зависит от выбора систем координат. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми и : .
  • — множ.-во кривых, проходящих через . -алгебра функций.
  • Скорость кривой в координатах (, ): ; -я компонента скорости: .
  • Матрица Якоби замены коорд.: ; -я компон.: . Лемма о замене координат.

    Лемма о замене координат. Пусть — многообразие, , , и ; тогда
    (1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
    (2) (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).

12.2  Касательные пространства и кокасательные пространства
  • Отнош.-е касания кривых в точке (): ; инвариантная скорость: .
  • Касательное простр.-во в точке : . Базисные векторы, определяемые координатами: .
  • Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат на : и .

    Теорема о касательных пространствах. Пусть — многообразие, , и ; тогда
    (1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через столбец , имеем следующий факт:
    столбец не зависит от выбора кривой ;
    (2) отображение — биекция; определим на структуру вект. простр.-ва над так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом
    вект. простр.-в (то есть ); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;
    (3) и для любых выполнено (это разложение по базису в ).

  • Кокасательное пр.-во в точке : . Базисн. ковекторы, опред. координатами: . Строка координат ковектора: .
  • Разлож.-е по базису в : . Преобр.-я при замене координат: и .
  • Теорема о дифференциале функции. Пусть — многообразие, и ; тогда
    (1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через число , имеем следующие
    факты: число не зависит от выбора кривой , и для любых выполнено ;
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: .
  • Дифференциал ф.-ции в коорд. (): ; -я компон. дифф.-ла: .
  • Производная Ли функции по вектору: . Производн. Ли в коорд.: ; в частности, .
12.3  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
  • Касательное и кокасательное расслоения: и . Структура многообр.-я на и . Отобр. проекции на : .
  • Пр.-ва векторн. полей и ковект. полей (-форм): и .
  • Умнож.-е вект. полей и -форм на функции. Действие -форм на вект. поля. Локальные вект. поля и -формы . Утверждение: .
  • Векторн. поля и -формы в коорд.: и . Преобраз.-я при замене коорд.: и .
  • Расслоение тензоров типа : . Пр. тензорн. полей типа : .
  • В коорд.: . Пример: — поле форм от перем.-х.
  • Преобр.-е координат тензорн. поля при замене координат на : .
  • Пр.-во дифференциальн. -форм: . Алгебра дифф. форм: .
12.4  Дифференциальные операции на многообразиях
  • Производная Ли: . Утверждение: и . Коммутатор вект. полей: .
  • Теорема о коммутаторе. Пусть — многообразие и ; тогда
    (1) для любых , определяя в координатах векторное поле на по формуле , имеем
    следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция удовлетворяет определению коммутатора;
    (2) операция коммутатора на определена однозначно;
    (3) — алгебра Ли относ.-но операции , и отобр. — изоморфизм алгебр Ли (без док.-ва сюръективности).
  • Внешний дифференциал: — супердифференциров.-е алгебры , и . Утверждение: .
  • Теорема о внешнем дифференциале. Пусть — многообразие и ; тогда
    (1) для любых и , определяя в координатах форму на по формуле
    (эта формула эквивалентна формуле ), имеем следующие факты: это определение не зависит от
    выбора системы координат (эскиз доказательства), и операция удовлетворяет определению внешнего дифференциала;
    (2) операция внешнего дифференциала на определена однозначно.
  • Замкнутая форма: . Точная форма: . Утверждение: точные формы замкнуты. Лемма Пуанкаре: в замкнут. формы точны (без док.-ва).
  • Ковариантн. произв. вект. полей: