Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск

Подробный план пятого модуля курса алгебры

9   Линейные операторы и ¯-билинейные формы

9.1  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
  • Пр.-во симметричных операторов: ; условие в коорд.: .
  • Пр.-во антисимм. операторов: ; условие в коорд.: .
  • Мн.-во положит. определенных операторов (, или ): .
  • Пример: , и ; тогда — положит. определ. оператор.
  • Форма, связанная с линейн. оператором : . Форма в коорд.: . Лемма о форме, связанной с оператором.

    Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над и ; тогда
    (1) если форма невырождена, то отображение — изоморфизм векторных пространств;
    (2) если , то , и, если дополнительно
    или , то .

  • Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору ( невырождена): ().
  • Сопряженный оператор в координатах: . Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.

    Теорема о свойствах сопряжения. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над , и форма невырождена; тогда
    (1) для любых и выполнено , и (и, значит, отобр.
    ¯-антиэндоморфизм -алгебры ), а также, если , то и ;
    (2) , и .

    Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над , , форма невырождена,
    и ; тогда , а также и .

  • Множество нормальных операторов ( невырождена): ; условие в координатах (): .
9.2  Спектральная теория в унитарных пространствах
  • Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда для любых
    выполнено , а также для любых таких , что , выполнено .
  • Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
    (1) — диагональная матрица;
    (2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
    (4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
    , , , .
  • Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть и ; тогда
    (1) — диагональная матрица;
    (2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
    (4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
    Пусть — предгильбертово пространство над и ; тогда для любого собственного числа оператора
    выполнено , , , , а также для любых двух
    различных собственных чисел и оператора выполнено .
  • Собственные числа и нормиров. собств. функции оператора энергии на : и , где .
  • Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).
9.3  Спектральная теория в евклидовых пространствах
  • Лемма о линейном операторе с пустым спектром. -Спектр лин. оператора в конечномерном вект. пр.-ве над : .

    Лемма о линейном операторе с пустым спектром. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
    (1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
    (2) если , то для любых выполнено .

  • -Диагонал. матрица — блочно-диаг. матрица над с блоками разм. на и блоками вида , где и . -Спектр -диаг. матрицы.
  • Спектральная теорема для евклидовых пространств. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
    (1) -диагональная матрица;
    (2) -диагонал. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица;
    (4) -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
    , , , .
  • Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть и ; тогда
    (1) -диагональная матрица;
    (2) -диагон. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица;
    (4) -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Теорема о спектральном разложении. Пусть , — евклидово пространство и , или , — унитарное пространство и
    ; для любых обозначим через ортогональный проектор ; тогда
    (1) для любых таких , что , выполнено и , а также , и ;
    (2) если для любых заданы операторы , удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых выполнено .
  • Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пр.-во с ориентацией, и ; тогда существуют такие и
    , что (и, значит, — оператор поворота в на угол против часовой стрелки вокруг оси с напр. вектором ).
  • Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пр.-во, и — лин. оператор, соответ.
    форме относ.-но изоморфизма (то есть ); тогда в сущ.-т ортонормированный базис,
    ортогональный относ.-но формы (то есть ), а также .
9.4  Специальная ортохронная группа Лоренца
  • Замена коорд.-т событий в СТО: , где и . Матричная группа Лоренца: . Теорема о сохранении скорости света.

    Теорема о сохранении скорости света. Пусть и ; обозначим ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) (это условие сохранения скорости света) и (у2) .

  • Буст (, ): . Утверждение: , где , и — инъект. гомоморф.-м групп.
  • Теорема о матричной группе Лоренца.
    (1) Пусть ; тогда и .
    (2) Пусть ; введем следующие обозначения: (), () и
    , а также, если , то и (); тогда, если , то
    и , а также, если , то , и .
    (3) Обозначим (это матричная специальная ортохронная
    группа Лоренца); тогда — ядро сюръективного гомоморфизма групп и .
  • Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (опр.-е не зависит от выбора базиса).
  • Спинорная модель пространства Минковского: . Спинорная модель трехмерн. евклидова пространства: .
  • Матрицы Паули: , , . Утверждение: , и .
  • Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
    (1) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
    (2) Сужение на формы из пункта (1), взятое с противопол. знаком, определяет на структуру евклидова пр.-ва, и .
    (3) Для любых и таких , что , выполнено , а также и .
  • Теорема о поворотах и бустах. [доказ.-во на семинарах] (1) Пусть , и ; тогда — оператор поворота в
    на угол вокруг оси с направляющим вектором , и — оператор буста в с быстротой вдоль оси с направл. вектором .
    (2) Спинорные представления и — изоморфизмы групп.

10   Тензоры (часть 1)

10.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами
  • Тензорное произведение вект. пространств: , где и — подпростр.-во полилинеаризации.
  • Разложимый тензор: . Ранг тензора : — минимум среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
  • Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над ; тогда
    и отображение — полилинейный оператор.
  • Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над ; тогда для любых
    существ. единств. такой , что
    (и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств).
  • Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные простр.-ва над и — базисы простр.-в
    соответственно; тогда все , где , попарно различны и
    базис пространства , а также, если , то .
  • Тензорное произв.-е лин. операторов (, ): . Тензорн. произв.-е тензоров: .
  • Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над ; тогда , а
    также и .
  • Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над ; тогда
    (1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отобр.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
    (2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отобр.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
10.2  Тензоры типа и тензорная алгебра
  • Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
  • Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
  • Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — векторное простр.-во над , и ; тогда
    (1) — изоморфизм векторных пространств;
    (2) — изоморфизм векторных пространств;
    (3) — изоморфизм вект. простр.-в.
  • Тензор типа в координ.-х: . Примеры: , , .
  • Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
  • Преобразование при замене базиса: