Просмотр исходного текста страницы Алгебра 1Phys весна 2021

__NOTOC__
<font size="3"><b><u>Лектор и преподаватели практики</u></b></font>

<b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.

<b>Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1e-mpXKStjr7qeMG-WbHLFgVUUH1FYEaGfL0tP4GtNPg/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.</b>]

<b>Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике:</b> Павел Андреевич Ходунов.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1DSnAmf71RsKHUlFAeDW-XBC4R0EJ4WRcYD8_SpKIi6M/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.</b>]<br><br>

<font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font>

[1]&nbsp; Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.<br>
[2]&nbsp; А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.<br>
[3]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.<br>
[4]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.<br>
[5]&nbsp; А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.<br><br>

<font size="3"><b><u>Содержание второго семестра курса алгебры</u></b></font>

<h5>4&nbsp;&nbsp; Векторные пространства</h5>
<ul><li>4.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами<br>
Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.<br>Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы и подпространства.
<li>4.2&nbsp; Независимые множества, порождающие множества, базисы<br>
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
<li>4.3&nbsp; Размерность, координаты, замена координат<br>
Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного<br>оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
<li>4.4&nbsp; Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство<br>
Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о<br>прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат<br>ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.</ul>

<h5>5&nbsp;&nbsp; Линейные операторы</h5>
<ul><li>5.1&nbsp; Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса<br>
Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.<br>Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
<li>5.2&nbsp; Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема<br>
Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные<br>полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма <math>\mathrm{vol}^e</math>. Теорема о формах объема.
<li>5.3&nbsp; Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора<br>
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о<br>присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.<br>Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
<li>5.4&nbsp; Многочлены и ряды от линейных операторов<br>
<li>5.5&nbsp; Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора<br>
<li>5.6&nbsp; Жорданова нормальная форма линейного оператора</ul>

<h5>6&nbsp;&nbsp; Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5>
<ul><li>6.1&nbsp; ¯-Билинейные формы<br>
Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные<br>формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
<li>6.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы<br>
¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <math>\mathbb C</math>. Гиперповерхности<br>второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
<li>6.3&nbsp; Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы<br>
Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).<br>Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
<li>6.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм<br>
Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.<br>Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.</ul>

<h5>7&nbsp;&nbsp; Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5>
<ul><li>7.1&nbsp; Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы<br>
<li>7.2&nbsp; Предгильбертовы пространства<br>
<li>7.3&nbsp; Ориентация, объем, векторное произведение<br>
<li>7.4&nbsp; Тело кватернионов<br></ul>

<h5>8&nbsp;&nbsp; Алгебры</h5>
<ul><li>8.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с алгебрами<br>
<li>8.2&nbsp; Алгебры Ли (основные определения и примеры)<br></ul><br>

<font size="3"><b>Подробные планы [[Алгебра_phys_1_февраль–март|третьего модуля курса алгебры]] и [[Алгебра_phys_1_апрель–май|четвертого модуля курса алгебры]]</b></font><br><br>