Алгебра 1Phys весна 2021 — различия между версиями

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск
(Новая страница: «__NOTOC__ <font size="3"><b><u>Лектор и преподаватели практики</u></b></font> <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньеви…»)
 
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 6: Строка 6:
 
<b>Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1e-mpXKStjr7qeMG-WbHLFgVUUH1FYEaGfL0tP4GtNPg/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.</b>]
 
<b>Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1e-mpXKStjr7qeMG-WbHLFgVUUH1FYEaGfL0tP4GtNPg/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.</b>]
  
<b>Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике:</b> Павел Андреевич Ходунов.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1DSnAmf71RsKHUlFAeDW-XBC4R0EJ4WRcYD8_SpKIi6M/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.</b>]
+
<b>Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике:</b> Павел Андреевич Ходунов.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1DSnAmf71RsKHUlFAeDW-XBC4R0EJ4WRcYD8_SpKIi6M/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.</b>]<br><br>
 +
 
 +
<font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font>
 +
 
 +
[1]&nbsp; Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.<br>
 +
[2]&nbsp; А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.<br>
 +
[3]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.<br>
 +
[4]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.<br>
 +
[5]&nbsp; А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.<br><br>
 +
 
 +
<font size="3"><b><u>Содержание второго семестра курса алгебры</u></b></font>
 +
 
 +
<h5>4&nbsp;&nbsp; Векторные пространства</h5>
 +
<ul><li>4.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами<br>
 +
Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.<br>Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
 +
<li>4.2&nbsp; Независимые множества, порождающие множества, базисы<br>
 +
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
 +
<li>4.3&nbsp; Размерность, координаты, замена координат<br>
 +
Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного<br>оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
 +
<li>4.4&nbsp; Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство<br>
 +
Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о<br>прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат<br>ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.</ul>
 +
 
 +
<h5>5&nbsp;&nbsp; Линейные операторы</h5>
 +
<ul><li>5.1&nbsp; Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса<br>
 +
Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.<br>Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
 +
<li>5.2&nbsp; Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема<br>
 +
Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные<br>полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма <math>\mathrm{vol}^e</math>. Теорема о формах объема.
 +
<li>5.3&nbsp; Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора<br>
 +
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о<br>присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.<br>Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
 +
<li>5.4&nbsp; Многочлены и ряды от линейных операторов<br>
 +
Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные<br>линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного<br>оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
 +
<li>5.5&nbsp; Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора<br>
 +
Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.<br>Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.<br>Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
 +
<li>5.6&nbsp; Жорданова нормальная форма линейного оператора<br>
 +
Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного<br>оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.</ul>
 +
 
 +
<h5>6&nbsp;&nbsp; Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5>
 +
<ul><li>6.1&nbsp; ¯-Билинейные формы<br>
 +
Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные<br>формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
 +
<li>6.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы<br>
 +
¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <math>\mathbb C</math>. Гиперповерхности<br>второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
 +
<li>6.3&nbsp; Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы<br>
 +
Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).<br>Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
 +
<li>6.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм<br>
 +
Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.<br>Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.</ul>
 +
 
 +
<h5>7&nbsp;&nbsp; Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5>
 +
<ul><li>7.1&nbsp; Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы<br>
 +
Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном<br>дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с<br>формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм.
 +
<li>7.2&nbsp; Предгильбертовы пространства<br>
 +
Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.<br>Метрика. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы пространства. Псевдоунитарные пространства.
 +
<li>7.3&nbsp; Ориентация, объем, векторное произведение<br>
 +
Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в<br>координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное<br>произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
 +
<li>7.4&nbsp; Тело кватернионов<br>
 +
Кольцо кватернионов. Скалярная часть и векторная часть. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о<br>свойствах кватернионов. Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании поворотов при помощи кватернионов.</ul>
 +
 
 +
<h5>8&nbsp;&nbsp; Алгебры</h5>
 +
<ul><li>8.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с алгебрами<br>
 +
Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Примеры инъективных гомоморфизмов<br><math>\mathbb R</math>-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебра многочленов от свободных переменных. Одночлены.<br>Однородные многочлены. Алгебра многочленов от коммутирующих переменных. Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных.
 +
<li>8.2&nbsp; Алгебры Ли (основные определения и примеры)<br>
 +
Алгебры Ли. Алгебра Ли <math>A^{(-)}</math>. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для<br>алгебр Ли. Примеры изоморфизмов <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли. Алгебра Ли дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.</ul><br>
 +
 
 +
<font size="3"><b>Подробные планы [[Алгебра_phys_1_февраль–март|третьего модуля курса алгебры]] и [[Алгебра_phys_1_апрель–май|четвертого модуля курса алгебры]]</b></font><br><br>
 +
 
 +
<font size="3"><b><u>Информация об экзаменах</u></b></font>
 +
 
 +
<h5>Вопросы к экзамену по третьему модулю</h5>
 +
<ol><li>Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы.
 +
<li>Подпространства. Подпространство, порожденное множеством. Линейные комбинации.
 +
<li>Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
 +
<li>Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса.
 +
<li>Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Теорема о существовании базиса.
 +
<li>Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
 +
<li>Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах.
 +
<li>Столбец координат вектора. Матрица линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора.
 +
<li>Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
 +
<li>Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве.
 +
<li>Прямая сумма векторных пространств. Теорема о прямой сумме.
 +
<li>Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве.
 +
<li>Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат ковектора. Преобразование координат ковекторов.
 +
<li>Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
 +
<li>Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга.
 +
<li>Элементарные преобразования. Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы.
 +
<li>Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
 +
<li>Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм.
 +
<li>Симметричные и антисимметричные полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.
 +
<li>Формы объема. Форма <math>\mathrm{vol}^e</math>. Теорема о формах объема.
 +
<li>Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>.
 +
<li>Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре.
 +
<li>Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора. Лемма о спектре.
 +
<li>Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
 +
<li>Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
 +
<li>Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
 +
<li>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
 +
<li>Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
 +
<li>Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
 +
<li>Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
 +
<li>Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
 +
<li>Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
 +
<li>Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки.
 +
<li>Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.</ol>
 +
 
 +
<h5>Правила проведения экзаменов</h5>
 +
<ul><li>Во время экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, письменные принадлежности и список вопросов к экзамену.
 +
<li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,<br>второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета.
 +
<li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
 +
<li>После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные<br>вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам<br>модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).</ul>

Текущая версия на 15:00, 25 марта 2021

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.

Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание второго семестра курса алгебры

4   Векторные пространства
  • 4.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
    Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
    Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
  • 4.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
    Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
    порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  • 4.3  Размерность, координаты, замена координат
    Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
    оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  • 4.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
    Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
    прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
    ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
5   Линейные операторы
  • 5.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
    Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
    Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  • 5.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
    Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
    полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  • 5.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
    Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
    присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
    Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
  • 5.4  Многочлены и ряды от линейных операторов
    Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
    линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
    оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  • 5.5  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
    Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
    Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
    Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  • 5.6  Жорданова нормальная форма линейного оператора
    Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного
    оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.
6   Векторные пространства с ¯-билинейной формой
  • 6.1  ¯-Билинейные формы
    Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
    формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
  • 6.2  ¯-Квадратичные формы
    ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем . Гиперповерхности
    второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
  • 6.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
    Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
    Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
  • 6.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
    Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
    Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
7   Геометрия в векторных пространствах над или
  • 7.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
    Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
    дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
    формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм.
  • 7.2  Предгильбертовы пространства
    Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
    Метрика. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы пространства. Псевдоунитарные пространства.
  • 7.3  Ориентация, объем, векторное произведение
    Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
    координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
    произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
  • 7.4  Тело кватернионов
    Кольцо кватернионов. Скалярная часть и векторная часть. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о
    свойствах кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании поворотов при помощи кватернионов.
8   Алгебры
  • 8.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
    Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Примеры инъективных гомоморфизмов
    -алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебра многочленов от свободных переменных. Одночлены.
    Однородные многочлены. Алгебра многочленов от коммутирующих переменных. Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных.
  • 8.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
    Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
    алгебр Ли. Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра Ли дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.


Подробные планы третьего модуля курса алгебры и четвертого модуля курса алгебры

Информация об экзаменах

Вопросы к экзамену по третьему модулю
  1. Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы.
  2. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством. Линейные комбинации.
  3. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
  4. Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса.
  5. Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Теорема о существовании базиса.
  6. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  7. Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах.
  8. Столбец координат вектора. Матрица линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора.
  9. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  10. Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве.
  11. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о прямой сумме.
  12. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве.
  13. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат ковектора. Преобразование координат ковекторов.
  14. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
  15. Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга.
  16. Элементарные преобразования. Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы.
  17. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  18. Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм.
  19. Симметричные и антисимметричные полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.
  20. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  21. Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа .
  22. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре.
  23. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора. Лемма о спектре.
  24. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
  25. Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
  26. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
  27. Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
  28. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  29. Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
  30. Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
  31. Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  32. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
  33. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки.
  34. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.
Правила проведения экзаменов
  • Во время экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, письменные принадлежности и список вопросов к экзамену.
  • Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,
    второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  • После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные
    вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам
    модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).