Алгебра 1Phys весна 2021 — различия между версиями

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск
(Новая страница: «__NOTOC__ <font size="3"><b><u>Лектор и преподаватели практики</u></b></font> <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньеви…»)
 
Строка 6: Строка 6:
 
<b>Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1e-mpXKStjr7qeMG-WbHLFgVUUH1FYEaGfL0tP4GtNPg/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.</b>]
 
<b>Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1e-mpXKStjr7qeMG-WbHLFgVUUH1FYEaGfL0tP4GtNPg/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.</b>]
  
<b>Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике:</b> Павел Андреевич Ходунов.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1DSnAmf71RsKHUlFAeDW-XBC4R0EJ4WRcYD8_SpKIi6M/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.</b>]
+
<b>Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике:</b> Павел Андреевич Ходунов.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1DSnAmf71RsKHUlFAeDW-XBC4R0EJ4WRcYD8_SpKIi6M/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.</b>]<br><br>
 +
 
 +
<font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font>
 +
 
 +
[1]&nbsp; Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.<br>
 +
[2]&nbsp; А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.<br>
 +
[3]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.<br>
 +
[4]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.<br>
 +
[5]&nbsp; А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.<br><br>
 +
 
 +
<font size="3"><b><u>Содержание второго семестра курса алгебры</u></b></font>
 +
 
 +
<h5>4&nbsp;&nbsp; Векторные пространства</h5>
 +
<ul><li>4.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами<br>
 +
Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.<br>Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы и подпространства.
 +
<li>4.2&nbsp; Независимые множества, порождающие множества, базисы<br>
 +
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
 +
<li>4.3&nbsp; Размерность, координаты, замена координат<br>
 +
Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного<br>оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
 +
<li>4.4&nbsp; Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство<br>
 +
Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о<br>прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат<br>ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.</ul>
 +
 
 +
<h5>5&nbsp;&nbsp; Линейные операторы</h5>
 +
<ul><li>5.1&nbsp; Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса<br>
 +
Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.<br>Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
 +
<li>5.2&nbsp; Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема<br>
 +
Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные<br>полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма <math>\mathrm{vol}^e</math>. Теорема о формах объема.
 +
<li>5.3&nbsp; Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора<br>
 +
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о<br>присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.<br>Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
 +
<li>5.4&nbsp; Многочлены и ряды от линейных операторов<br>
 +
<li>5.5&nbsp; Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора<br>
 +
<li>5.6&nbsp; Жорданова нормальная форма линейного оператора</ul>
 +
 
 +
<h5>6&nbsp;&nbsp; Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5>
 +
<ul><li>6.1&nbsp; ¯-Билинейные формы<br>
 +
Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные<br>формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
 +
<li>6.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы<br>
 +
¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <math>\mathbb C</math>. Гиперповерхности<br>второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
 +
<li>6.3&nbsp; Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы<br>
 +
Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).<br>Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
 +
<li>6.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм<br>
 +
Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.<br>Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.</ul>
 +
 
 +
<h5>7&nbsp;&nbsp; Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5>
 +
<ul><li>7.1&nbsp; Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы<br>
 +
<li>7.2&nbsp; Предгильбертовы пространства<br>
 +
<li>7.3&nbsp; Ориентация, объем, векторное произведение<br>
 +
<li>7.4&nbsp; Тело кватернионов<br></ul>
 +
 
 +
<h5>8&nbsp;&nbsp; Алгебры</h5>
 +
<ul><li>8.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с алгебрами<br>
 +
<li>8.2&nbsp; Алгебры Ли (основные определения и примеры)<br></ul><br>
 +
 
 +
<font size="3"><b>Подробные планы [[Алгебра_phys_1_февраль–март|третьего модуля курса алгебры]] и [[Алгебра_phys_1_апрель–май|четвертого модуля курса алгебры]]</b></font><br><br>

Версия 18:00, 15 января 2021

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.

Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание второго семестра курса алгебры

4   Векторные пространства
  • 4.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
    Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
    Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы и подпространства.
  • 4.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
    Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
    порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  • 4.3  Размерность, координаты, замена координат
    Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
    оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  • 4.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
    Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
    прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
    ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
5   Линейные операторы
  • 5.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
    Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
    Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  • 5.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
    Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
    полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  • 5.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
    Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
    присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
    Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
  • 5.4  Многочлены и ряды от линейных операторов
  • 5.5  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
  • 5.6  Жорданова нормальная форма линейного оператора
6   Векторные пространства с ¯-билинейной формой
  • 6.1  ¯-Билинейные формы
    Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
    формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
  • 6.2  ¯-Квадратичные формы
    ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем . Гиперповерхности
    второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
  • 6.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
    Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
    Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
  • 6.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
    Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
    Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
7   Геометрия в векторных пространствах над или
  • 7.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  • 7.2  Предгильбертовы пространства
  • 7.3  Ориентация, объем, векторное произведение
  • 7.4  Тело кватернионов
8   Алгебры
  • 8.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • 8.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)


Подробные планы третьего модуля курса алгебры и четвертого модуля курса алгебры