Алгебра 1Phys весна 2021 — различия между версиями
Материал из CSC Wiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
<h5>4 Векторные пространства</h5> | <h5>4 Векторные пространства</h5> | ||
<ul><li>4.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами<br> | <ul><li>4.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами<br> | ||
| − | Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.<br>Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы | + | Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.<br>Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. |
<li>4.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы<br> | <li>4.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы<br> | ||
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. | Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. | ||
| Строка 36: | Строка 36: | ||
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о<br>присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.<br>Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене. | Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о<br>присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.<br>Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене. | ||
<li>5.4 Многочлены и ряды от линейных операторов<br> | <li>5.4 Многочлены и ряды от линейных операторов<br> | ||
| + | Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные<br>линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного<br>оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. | ||
<li>5.5 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора<br> | <li>5.5 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора<br> | ||
| − | <li>5.6 Жорданова нормальная форма линейного оператора</ul> | + | Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.<br>Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.<br>Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки. |
| + | <li>5.6 Жорданова нормальная форма линейного оператора<br> | ||
| + | Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного<br>оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.</ul> | ||
<h5>6 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5> | <h5>6 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5> | ||
| Строка 51: | Строка 54: | ||
<h5>7 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5> | <h5>7 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5> | ||
<ul><li>7.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы<br> | <ul><li>7.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы<br> | ||
| + | Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном<br>дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с<br>формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм. | ||
<li>7.2 Предгильбертовы пространства<br> | <li>7.2 Предгильбертовы пространства<br> | ||
| + | Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.<br>Метрика. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы пространства. Псевдоунитарные пространства. | ||
<li>7.3 Ориентация, объем, векторное произведение<br> | <li>7.3 Ориентация, объем, векторное произведение<br> | ||
| − | <li>7.4 Тело кватернионов<br></ul> | + | Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в<br>координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное<br>произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении. |
| + | <li>7.4 Тело кватернионов<br> | ||
| + | Кольцо кватернионов. Скалярная часть и векторная часть. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о<br>свойствах кватернионов. Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании поворотов при помощи кватернионов.</ul> | ||
<h5>8 Алгебры</h5> | <h5>8 Алгебры</h5> | ||
<ul><li>8.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами<br> | <ul><li>8.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами<br> | ||
| − | <li>8.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)<br></ul><br> | + | Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Примеры инъективных гомоморфизмов<br><math>\mathbb R</math>-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебра многочленов от свободных переменных. Одночлены.<br>Однородные многочлены. Алгебра многочленов от коммутирующих переменных. Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных. |
| + | <li>8.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)<br> | ||
| + | Алгебры Ли. Алгебра Ли <math>A^{(-)}</math>. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для<br>алгебр Ли. Примеры изоморфизмов <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли. Алгебра Ли дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.</ul><br> | ||
<font size="3"><b>Подробные планы [[Алгебра_phys_1_февраль–март|третьего модуля курса алгебры]] и [[Алгебра_phys_1_апрель–май|четвертого модуля курса алгебры]]</b></font><br><br> | <font size="3"><b>Подробные планы [[Алгебра_phys_1_февраль–март|третьего модуля курса алгебры]] и [[Алгебра_phys_1_апрель–май|четвертого модуля курса алгебры]]</b></font><br><br> | ||
| + | |||
| + | <font size="3"><b><u>Информация об экзаменах</u></b></font> | ||
| + | |||
| + | <h5>Вопросы к экзамену по третьему модулю</h5> | ||
| + | <ol><li>Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. | ||
| + | <li>Подпространства. Подпространство, порожденное множеством. Линейные комбинации. | ||
| + | <li>Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. | ||
| + | <li>Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. | ||
| + | <li>Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. | ||
| + | <li>Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. | ||
| + | <li>Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. | ||
| + | <li>Столбец координат вектора. Матрица линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора. | ||
| + | <li>Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов. | ||
| + | <li>Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. | ||
| + | <li>Прямая сумма векторных пространств. Теорема о прямой сумме. | ||
| + | <li>Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. | ||
| + | <li>Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат ковектора. Преобразование координат ковекторов. | ||
| + | <li>Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством. | ||
| + | <li>Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. | ||
| + | <li>Элементарные преобразования. Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. | ||
| + | <li>Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. | ||
| + | <li>Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. | ||
| + | <li>Симметричные и антисимметричные полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. | ||
| + | <li>Формы объема. Форма <math>\mathrm{vol}^e</math>. Теорема о формах объема. | ||
| + | <li>Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>. | ||
| + | <li>Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. | ||
| + | <li>Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора. Лемма о спектре. | ||
| + | <li>Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене. | ||
| + | <li>Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. | ||
| + | <li>Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. | ||
| + | <li>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения. | ||
| + | <li>Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. | ||
| + | <li>Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов. | ||
| + | <li>Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах. | ||
| + | <li>Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки. | ||
| + | <li>Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. | ||
| + | <li>Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. | ||
| + | <li>Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.</ol> | ||
| + | |||
| + | <h5>Правила проведения экзаменов</h5> | ||
| + | <ul><li>Во время экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, письменные принадлежности и список вопросов к экзамену. | ||
| + | <li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,<br>второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. | ||
| + | <li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны). | ||
| + | <li>После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные<br>вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам<br>модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).</ul> | ||
Текущая версия на 15:00, 25 марта 2021
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.
Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.
Дополнительная литература
[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
Содержание второго семестра курса алгебры
4 Векторные пространства
- 4.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. - 4.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. - 4.3 Размерность, координаты, замена координат
Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов. - 4.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
5 Линейные операторы
- 5.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. - 5.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема. - 5.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене. - 5.4 Многочлены и ряды от линейных операторов
Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. - 5.5 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки. - 5.6 Жорданова нормальная форма линейного оператора
Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного
оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.
6 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
- 6.1 ¯-Билинейные формы
Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой. - 6.2 ¯-Квадратичные формы
¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем . Гиперповерхности
второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы. - 6.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы. - 6.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
7 Геометрия в векторных пространствах над или
- 7.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм. - 7.2 Предгильбертовы пространства
Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
Метрика. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы пространства. Псевдоунитарные пространства. - 7.3 Ориентация, объем, векторное произведение
Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении. - 7.4 Тело кватернионов
Кольцо кватернионов. Скалярная часть и векторная часть. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о
свойствах кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании поворотов при помощи кватернионов.
8 Алгебры
- 8.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Примеры инъективных гомоморфизмов
-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебра многочленов от свободных переменных. Одночлены.
Однородные многочлены. Алгебра многочленов от коммутирующих переменных. Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных. - 8.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
алгебр Ли. Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра Ли дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.
Подробные планы третьего модуля курса алгебры и четвертого модуля курса алгебры
Информация об экзаменах
Вопросы к экзамену по третьему модулю
- Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы.
- Подпространства. Подпространство, порожденное множеством. Линейные комбинации.
- Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
- Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса.
- Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Теорема о существовании базиса.
- Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
- Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах.
- Столбец координат вектора. Матрица линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора.
- Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
- Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве.
- Прямая сумма векторных пространств. Теорема о прямой сумме.
- Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве.
- Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат ковектора. Преобразование координат ковекторов.
- Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
- Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга.
- Элементарные преобразования. Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы.
- Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
- Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм.
- Симметричные и антисимметричные полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.
- Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
- Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа .
- Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре.
- Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора. Лемма о спектре.
- Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
- Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
- Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
- Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
- Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
- Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
- Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
- Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
- Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
- Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки.
- Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.
Правила проведения экзаменов
- Во время экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, письменные принадлежности и список вопросов к экзамену.
- Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,
второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. - Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны). - После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные
вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам
модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).
