Алгебра 1Phys весна 2021

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.

Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание второго семестра курса алгебры

4   Векторные пространства
  • 4.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
    Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
    Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
  • 4.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
    Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
    порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  • 4.3  Размерность, координаты, замена координат
    Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
    оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  • 4.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
    Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
    прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
    ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
5   Линейные операторы
  • 5.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
    Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
    Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  • 5.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
    Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
    полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  • 5.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
    Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
    присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
    Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
  • 5.4  Многочлены и ряды от линейных операторов
    Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
    линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
    оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  • 5.5  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
    Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
    Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
    Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  • 5.6  Жорданова нормальная форма линейного оператора
    Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного
    оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.
6   Векторные пространства с ¯-билинейной формой
  • 6.1  ¯-Билинейные формы
    Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
    формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
  • 6.2  ¯-Квадратичные формы
    ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем . Гиперповерхности
    второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
  • 6.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
    Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
    Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
  • 6.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
    Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
    Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
7   Геометрия в векторных пространствах над или
  • 7.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
    Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
    дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
    формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм.
  • 7.2  Предгильбертовы пространства
    Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
    Метрика. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы пространства. Псевдоунитарные пространства.
  • 7.3  Ориентация, объем, векторное произведение
    Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
    координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
    произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
  • 7.4  Тело кватернионов
    Кольцо кватернионов. Скалярная часть и векторная часть. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о
    свойствах кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании поворотов при помощи кватернионов.
8   Алгебры
  • 8.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
    Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Примеры инъективных гомоморфизмов
    -алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебра многочленов от свободных переменных. Одночлены.
    Однородные многочлены. Алгебра многочленов от коммутирующих переменных. Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных.
  • 8.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
    Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
    алгебр Ли. Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра Ли дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.


Подробные планы третьего модуля курса алгебры и четвертого модуля курса алгебры

Информация об экзаменах

Вопросы к экзамену по третьему модулю
  1. Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы.
  2. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством. Линейные комбинации.
  3. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
  4. Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса.
  5. Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Теорема о существовании базиса.
  6. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  7. Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах.
  8. Столбец координат вектора. Матрица линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора.
  9. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  10. Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве.
  11. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о прямой сумме.
  12. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве.
  13. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат ковектора. Преобразование координат ковекторов.
  14. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
  15. Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга.
  16. Элементарные преобразования. Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы.
  17. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  18. Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм.
  19. Симметричные и антисимметричные полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.
  20. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  21. Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа .
  22. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре.
  23. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора. Лемма о спектре.
  24. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
  25. Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
  26. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
  27. Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
  28. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  29. Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
  30. Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
  31. Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  32. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
  33. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки.
  34. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.
Правила проведения экзаменов
  • Во время экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, письменные принадлежности и список вопросов к экзамену.
  • Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,
    второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  • После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные
    вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам
    модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).