Алгебра 1Phys весна 2022

Материал из CSC Wiki
Версия от 15:00, 20 февраля 2022; Goryachko (обсуждение | вклад) (Новая страница: «__NOTOC__ <font size="3"><b><u>Лектор и преподаватели практики</u></b></font> <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньеви…»)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к:навигация, поиск

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание второго семестра курса алгебры

4   Векторные пространства
  • 4.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
    Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
    Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
  • 4.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
    Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
    порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  • 4.3  Размерность, координаты, замена координат
    Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
    оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  • 4.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
    Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
    прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
    ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
5   Линейные операторы
  • 5.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
    Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
    Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  • 5.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
    Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
    полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  • 5.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
    Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
    присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
    Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
  • 5.4  Многочлены и ряды от линейных операторов
    Эвалюация. Кольцо, порожденное линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
    линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
    оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  • 5.5  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
    Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
    Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
    Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  • 5.6  Жорданова нормальная форма линейного оператора
    Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного
    оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме. Примеры использования жордановой нормальной формы.