Алгебра 1Phys осень 2020 — различия между версиями

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск
Строка 21: Строка 21:
 
<ul><li>1.1&nbsp; Множества и отображения<br>
 
<ul><li>1.1&nbsp; Множества и отображения<br>
 
Логические операции. Множества. Кванторы. Равенство множеств. Выделение подмножества. Числовые множества. Операции над множествами.<br>Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. Отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения.<br>Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
 
Логические операции. Множества. Кванторы. Равенство множеств. Выделение подмножества. Числовые множества. Операции над множествами.<br>Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. Отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения.<br>Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
 
 
<li>1.2&nbsp; Отношения и операции<br>
 
<li>1.2&nbsp; Отношения и операции<br>
Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения. Слои отображения. Факторотображения.<br>Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы относительно включения. Операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы.<br>Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции.</ul>
+
Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения. Слои отображения. Факторотображения.<br>Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы по включению. Внутренние операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы.<br>Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативность и коммутативность.</ul>
  
 
<h5>2&nbsp;&nbsp; Группы и кольца</h5>
 
<h5>2&nbsp;&nbsp; Группы и кольца</h5>
 
<ul><li>2.1&nbsp; Полугруппы, моноиды, группы (основные определения и примеры)<br>
 
<ul><li>2.1&nbsp; Полугруппы, моноиды, группы (основные определения и примеры)<br>
Полугруппы. Лемма об обобщенной ассоциативности. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида.<br>Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп. Симметрические группы. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
+
Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые<br>элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы. Таблица Кэли. Примеры групп. Группа изометрий плоскости. Симметрические<br>группы. Способы записи перестановок. Лемма о циклах. Мультипликативные обозначения и аддитивные обозначения.
 
 
 
<li>2.2&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы<br>
 
<li>2.2&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы<br>
 
Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок<br>элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
 
Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок<br>элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
 
 
<li>2.3&nbsp; Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп<br>
 
<li>2.3&nbsp; Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп<br>
 
Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.<br>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
 
Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.<br>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
 
 
<li>2.4&nbsp; Определения и конструкции, связанные с кольцами<br>
 
<li>2.4&nbsp; Определения и конструкции, связанные с кольцами<br>
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о<br>гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля.
+
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о<br>гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика кольца. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность.<br>Ассоциированность и дроби в областях целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
 
 
 
<li>2.5&nbsp; Кольца многочленов<br>
 
<li>2.5&nbsp; Кольца многочленов<br>
Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков<br>по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
+
Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо<br>остатков по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
 
 
 
<li>2.6&nbsp; Поле комплексных чисел<br>
 
<li>2.6&nbsp; Поле комплексных чисел<br>
 
Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента.<br>Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>.</ul><br>
 
Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента.<br>Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>.</ul><br>
  
 
[[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первого модуля курса алгебры (методы теоретической физики)</b></font>]]<br><br>
 
[[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первого модуля курса алгебры (методы теоретической физики)</b></font>]]<br><br>
 +
 +
<h5>Вопросы к экзамену по первому модулю</h5>
 +
<ol><li>Логические операции. Множества. Кванторы. Равенство множеств. Выделение подмножества. Числовые множества.
 +
<li>Операции над множествами. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
 +
<li>Отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции. Биекции.
 +
<li>Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
 +
<li>Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
 +
<li>Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы по включению.
 +
<li>Внутренние операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы.
 +
<li>Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативность и коммутативность.
 +
<li>Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
 +
<li>Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида.
 +
<li>Группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы. Таблица Кэли. Примеры групп. Группа изометрий плоскости.
 +
<li>Симметрические группы. Способы записи перестановок. Лемма о циклах. Мультипликативные обозначения и аддитивные обозначения.
 +
<li>Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством.
 +
<li>Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
 +
<li>Порядок элемента группы. Лемма о порядке элемента.
 +
<li>Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
 +
<li>Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством.
 +
<li>Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
 +
<li>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями.
 +
<li>Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
 +
<li>Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца.
 +
<li>Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика кольца.
 +
<li>Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности.
 +
<li>Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
 +
<li>Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Неприводимые многочлены.
 +
<li>Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.
 +
<li>Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
 +
<li>Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
 +
<li>Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль.
 +
<li>Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\mathrm S^1</math>.
 +
<li>Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
 +
<li>«Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>.</ol>

Версия 12:00, 6 октября 2020

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.

Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.

Дополнительная литература

[1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  Ю.И. Манин. Математика как метафора.

Содержание первого модуля курса алгебры (методы теоретической физики)

1   Базовые понятия математики
  • 1.1  Множества и отображения
    Логические операции. Множества. Кванторы. Равенство множеств. Выделение подмножества. Числовые множества. Операции над множествами.
    Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. Отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения.
    Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
  • 1.2  Отношения и операции
    Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения. Слои отображения. Факторотображения.
    Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы по включению. Внутренние операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы.
    Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативность и коммутативность.
2   Группы и кольца
  • 2.1  Полугруппы, моноиды, группы (основные определения и примеры)
    Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые
    элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы. Таблица Кэли. Примеры групп. Группа изометрий плоскости. Симметрические
    группы. Способы записи перестановок. Лемма о циклах. Мультипликативные обозначения и аддитивные обозначения.
  • 2.2  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
    Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
    элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
  • 2.3  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
    Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
    Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
  • 2.4  Определения и конструкции, связанные с кольцами
    Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
    гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика кольца. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность.
    Ассоциированность и дроби в областях целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
  • 2.5  Кольца многочленов
    Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо
    остатков по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
  • 2.6  Поле комплексных чисел
    Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа . Экспонента.
    Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и .


Подробный план первого модуля курса алгебры (методы теоретической физики)

Вопросы к экзамену по первому модулю
  1. Логические операции. Множества. Кванторы. Равенство множеств. Выделение подмножества. Числовые множества.
  2. Операции над множествами. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
  3. Отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции. Биекции.
  4. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
  5. Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
  6. Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы по включению.
  7. Внутренние операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы.
  8. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативность и коммутативность.
  9. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
  10. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида.
  11. Группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы. Таблица Кэли. Примеры групп. Группа изометрий плоскости.
  12. Симметрические группы. Способы записи перестановок. Лемма о циклах. Мультипликативные обозначения и аддитивные обозначения.
  13. Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством.
  14. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
  15. Порядок элемента группы. Лемма о порядке элемента.
  16. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
  17. Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством.
  18. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
  19. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями.
  20. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
  21. Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца.
  22. Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика кольца.
  23. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности.
  24. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
  25. Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Неприводимые многочлены.
  26. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.
  27. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
  28. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
  29. Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль.
  30. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа .
  31. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
  32. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и .