Алгебра 1Phys осень 2020 — различия между версиями

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 24: Строка 24:
 
Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения. Слои отображения. Факторотображения.<br>Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы по включению. Внутренние операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы.<br>Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативность и коммутативность.</ul>
 
Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения. Слои отображения. Факторотображения.<br>Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы по включению. Внутренние операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы.<br>Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативность и коммутативность.</ul>
  
<h5>2&nbsp;&nbsp; Группы и кольца</h5>
+
<h5>2&nbsp;&nbsp; Группы и кольца (часть 1)</h5>
 
<ul><li>2.1&nbsp; Полугруппы, моноиды, группы (основные определения и примеры)<br>
 
<ul><li>2.1&nbsp; Полугруппы, моноиды, группы (основные определения и примеры)<br>
 
Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые<br>элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы. Таблица Кэли. Примеры групп. Группа изометрий плоскости. Симметрические<br>группы. Способы записи перестановок. Лемма о циклах. Мультипликативные обозначения и аддитивные обозначения.
 
Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые<br>элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы. Таблица Кэли. Примеры групп. Группа изометрий плоскости. Симметрические<br>группы. Способы записи перестановок. Лемма о циклах. Мультипликативные обозначения и аддитивные обозначения.
Строка 34: Строка 34:
 
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о<br>гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика кольца. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность.<br>Ассоциированность и дроби в областях целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
 
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о<br>гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика кольца. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность.<br>Ассоциированность и дроби в областях целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
 
<li>2.5&nbsp; Кольца многочленов<br>
 
<li>2.5&nbsp; Кольца многочленов<br>
Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо<br>остатков по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
+
Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.<br>Неприводимые многочлены. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
 
<li>2.6&nbsp; Поле комплексных чисел<br>
 
<li>2.6&nbsp; Поле комплексных чисел<br>
Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента.<br>Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>.</ul>
+
Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента.<br>Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb C</math> и <math>\mathbb R</math>.</ul>
  
<h5>3&nbsp;&nbsp; Группы и кольца в линейной алгебре</h5>
+
<h5>3&nbsp;&nbsp; Группы и кольца (часть 2)</h5>
<ul><li>3.1&nbsp; Симметрические группы и символ Леви-Чивиты
+
<ul><li>3.1&nbsp; Симметрические группы и символ Леви-Чивиты<br>
<li>3.2&nbsp; Матрицы, столбцы и строки, определитель матрицы, группы матриц
+
Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах<br>знака. Группа <math>\mathrm A_n</math>. Простые группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы <math>\mathrm S_n</math> образующими и соотношениями.
<li>3.3&nbsp; Действия групп на множествах, автоморфизмы групп, полупрямое произведение групп
+
<li>3.2&nbsp; Матрицы, столбцы, строки, определитель матрицы, группы матриц<br>
<li>3.4&nbsp; Делимость в коммутативных кольцах и евклидовы кольца
+
Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,R)</math>. Оператор умножения на матрицу. Столбцы, строки, матрицы<br>с одной единицей и нулями. Транспонирование. След. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.<br>Определитель матрицы. Ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(n,R)</math> и ее<br>геометрический смысл. Группы <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm U(n)</math>. Группы <math>\mathrm{SO}(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
<li>3.5&nbsp; Факториальные кольца и элементарная теория чисел
+
<li>3.3&nbsp; Действия групп на множествах, автоморфизмы групп, полупрямое произведение групп<br>
 +
Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. Орбиты. <math>G</math>-Множества. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств. Однородные<br><math>G</math>-множества (транзитивные действия). Стабилизаторы. Свободные <math>G</math>-множества (свободные действия). Торсоры. Неподвижные точки. Теорема о<br>стабилизаторах и орбитах. Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.<br>Коммутатор элементов. Коммутант группы. Абелианизация группы. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.
 +
<li>3.4&nbsp; Делимость в коммутативных кольцах и евклидовы кольца<br>
 +
Области главных идеалов. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Теорема о делимости и главных идеалах. Евклидовы кольца.<br>Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Соотношение и коэффициенты Безу. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
 +
<li>3.5&nbsp; Факториальные кольца и элементарная теория чисел<br>
 +
Неприводимые элементы. Теорема о неприводимых элементах и факторкольцах. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о<br>достаточных условиях факториальности. Теорема о делимости в факториальных кольцах. Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская<br>теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
 
<li>3.6&nbsp; Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби<br>
 
<li>3.6&nbsp; Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби<br>
Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных<br>формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к<br>несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.</ul><br>
+
Производная. Правило Лейбница. Кратность корня. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Поле частных. Теорема о поле частных. Поле<br>рациональных дробей. Правильные дроби. Несократимая запись. Примарные и простейшие дроби. Разложение дробей в сумму простейших дробей.</ul><br>
  
 
<font size="3"><b>Подробные планы [[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|первого модуля курса алгебры]] и [[Алгебра_phys_1_ноябрь–декабрь|второго модуля курса алгебры]]</b></font><br><br>
 
<font size="3"><b>Подробные планы [[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|первого модуля курса алгебры]] и [[Алгебра_phys_1_ноябрь–декабрь|второго модуля курса алгебры]]</b></font><br><br>
Строка 75: Строка 80:
 
<li>Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности.
 
<li>Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности.
 
<li>Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
 
<li>Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
<li>Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Неприводимые многочлены.
+
<li>Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена.
<li>Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.
+
<li>Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена. Неприводимые многочлены.
 
<li>Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
 
<li>Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
 
<li>Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
 
<li>Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
 
<li>Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел.
 
<li>Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел.
 
<li>Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
 
<li>Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
<li>«Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>.</ol>
+
<li>«Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb C</math> и <math>\mathbb R</math>.</ol>
 +
 
 +
<h5>Вопросы к экзамену по второму модулю</h5>
 +
<ol><li>Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
 +
<li>Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Группа <math>\mathrm A_n</math>. Простые группы.
 +
<li>Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы <math>\mathrm S_n</math> образующими и соотношениями.
 +
<li>Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,R)</math>.
 +
<li>Оператор умножения на матрицу. Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями.
 +
<li>Транспонирование. След. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
 +
<li>Определитель матрицы. Ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов.
 +
<li>Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(n,R)</math> и ее геометрический смысл.
 +
<li>Группы <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm U(n)</math>. Группы <math>\mathrm{SO}(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
 +
<li>Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. Орбиты.
 +
<li><math>G</math>-Множества. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств. Однородные <math>G</math>-множества (транзитивные действия). Стабилизаторы.
 +
<li>Свободные <math>G</math>-множества (свободные действия). Торсоры. Неподвижные точки. Теорема о стабилизаторах и орбитах.
 +
<li>Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.
 +
<li>Коммутатор элементов. Коммутант группы. Абелианизация группы.
 +
<li>Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.
 +
<li>Области главных идеалов. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Теорема о делимости и главных идеалах.
 +
<li>Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах.
 +
<li>Соотношение и коэффициенты Безу. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
 +
<li>Неприводимые элементы. Теорема о неприводимых элементах и факторкольцах. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец.
 +
<li>Теорема о достаточных условиях факториальности. Теорема о делимости в факториальных кольцах.
 +
<li>Китайские теоремы об остатках для целых чисел и многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
 +
<li>Производная. Правило Лейбница. Кратность корня. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции.
 +
<li>Поле частных. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей.
 +
<li>Правильные дроби. Несократимая запись. Примарные и простейшие дроби. Разложение дробей в сумму простейших дробей.</ol>
  
 
<h5>Правила проведения экзаменов</h5>
 
<h5>Правила проведения экзаменов</h5>
Строка 87: Строка 118:
 
<li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,<br>второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета.
 
<li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,<br>второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета.
 
<li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
 
<li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
<li>После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные<br>вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм, утверждений) по всем темам модуля.</ul>
+
<li>После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные<br>вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам<br>модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).</ul>

Текущая версия на 18:00, 12 декабря 2020

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.

Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.

Дополнительная литература

[1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  Ю.И. Манин. Математика как метафора.

Содержание первого семестра курса алгебры

1   Базовые понятия математики
  • 1.1  Множества и отображения
    Логические операции. Множества. Кванторы. Равенство множеств. Выделение подмножества. Числовые множества. Операции над множествами.
    Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. Отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения.
    Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
  • 1.2  Отношения и операции
    Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения. Слои отображения. Факторотображения.
    Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы по включению. Внутренние операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы.
    Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативность и коммутативность.
2   Группы и кольца (часть 1)
  • 2.1  Полугруппы, моноиды, группы (основные определения и примеры)
    Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые
    элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы. Таблица Кэли. Примеры групп. Группа изометрий плоскости. Симметрические
    группы. Способы записи перестановок. Лемма о циклах. Мультипликативные обозначения и аддитивные обозначения.
  • 2.2  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
    Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Отношения сравнимости по модулю подгруппы. Правые и левые классы смежности. Теорема Лагранжа.
    Индекс подгруппы. Порядок элемента. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
  • 2.3  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
    Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
    Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
  • 2.4  Определения и конструкции, связанные с кольцами
    Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
    гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика кольца. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность.
    Ассоциированность и дроби в областях целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
  • 2.5  Кольца многочленов
    Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.
    Неприводимые многочлены. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
  • 2.6  Поле комплексных чисел
    Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа . Экспонента.
    Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и .
3   Группы и кольца (часть 2)
  • 3.1  Симметрические группы и символ Леви-Чивиты
    Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах
    знака. Группа . Простые группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями.
  • 3.2  Матрицы, столбцы, строки, определитель матрицы, группы матриц
    Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Оператор умножения на матрицу. Столбцы, строки, матрицы
    с одной единицей и нулями. Транспонирование. След. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
    Определитель матрицы. Ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах определителя. Группа и ее
    геометрический смысл. Группы и . Группы и . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
  • 3.3  Действия групп на множествах, автоморфизмы групп, полупрямое произведение групп
    Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. Орбиты. -Множества. Гомоморфизмы -множеств. Однородные
    -множества (транзитивные действия). Стабилизаторы. Свободные -множества (свободные действия). Торсоры. Неподвижные точки. Теорема о
    стабилизаторах и орбитах. Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.
    Коммутатор элементов. Коммутант группы. Абелианизация группы. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.
  • 3.4  Делимость в коммутативных кольцах и евклидовы кольца
    Области главных идеалов. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Теорема о делимости и главных идеалах. Евклидовы кольца.
    Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Соотношение и коэффициенты Безу. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
  • 3.5  Факториальные кольца и элементарная теория чисел
    Неприводимые элементы. Теорема о неприводимых элементах и факторкольцах. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о
    достаточных условиях факториальности. Теорема о делимости в факториальных кольцах. Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская
    теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
  • 3.6  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
    Производная. Правило Лейбница. Кратность корня. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Поле частных. Теорема о поле частных. Поле
    рациональных дробей. Правильные дроби. Несократимая запись. Примарные и простейшие дроби. Разложение дробей в сумму простейших дробей.


Подробные планы первого модуля курса алгебры и второго модуля курса алгебры

Информация об экзаменах

Вопросы к экзамену по первому модулю
  1. Логические операции. Множества. Кванторы. Равенство множеств. Выделение подмножества. Числовые множества.
  2. Операции над множествами. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
  3. Отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции. Биекции.
  4. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
  5. Отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения. Слои отображения.
  6. Факторотображения. Принцип Дирихле для отображений. Наименьший элемент и минимальные элементы по включению.
  7. Внутренние операции. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы.
  8. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативность и коммутативность.
  9. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
  10. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида.
  11. Группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфные группы. Таблица Кэли. Примеры групп. Группа изометрий плоскости.
  12. Симметрические группы. Способы записи перестановок. Лемма о циклах. Мультипликативные обозначения и аддитивные обозначения.
  13. Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Отношения сравнимости по модулю подгруппы. Правые и левые классы смежности.
  14. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок элемента. Лемма о порядке элемента.
  15. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
  16. Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством.
  17. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
  18. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями.
  19. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
  20. Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца.
  21. Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика кольца.
  22. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности.
  23. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. Примеры полей. Подполя.
  24. Моноид одночленов. Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена.
  25. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена. Неприводимые многочлены.
  26. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
  27. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
  28. Кольцо комплексных чисел. Вещественная часть и мнимая часть. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел.
  29. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
  30. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и .
Вопросы к экзамену по второму модулю
  1. Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
  2. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Группа . Простые группы.
  3. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями.
  4. Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа .
  5. Оператор умножения на матрицу. Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями.
  6. Транспонирование. След. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
  7. Определитель матрицы. Ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов.
  8. Теорема о свойствах определителя. Группа и ее геометрический смысл.
  9. Группы и . Группы и . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
  10. Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. Орбиты.
  11. -Множества. Гомоморфизмы -множеств. Однородные -множества (транзитивные действия). Стабилизаторы.
  12. Свободные -множества (свободные действия). Торсоры. Неподвижные точки. Теорема о стабилизаторах и орбитах.
  13. Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.
  14. Коммутатор элементов. Коммутант группы. Абелианизация группы.
  15. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.
  16. Области главных идеалов. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Теорема о делимости и главных идеалах.
  17. Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах.
  18. Соотношение и коэффициенты Безу. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
  19. Неприводимые элементы. Теорема о неприводимых элементах и факторкольцах. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец.
  20. Теорема о достаточных условиях факториальности. Теорема о делимости в факториальных кольцах.
  21. Китайские теоремы об остатках для целых чисел и многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
  22. Производная. Правило Лейбница. Кратность корня. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции.
  23. Поле частных. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей.
  24. Правильные дроби. Несократимая запись. Примарные и простейшие дроби. Разложение дробей в сумму простейших дробей.
Правила проведения экзаменов
  • Во время экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, письменные принадлежности и список вопросов к экзамену.
  • Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,
    второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  • После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные
    вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам
    модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).