Алгебра 2Phys осень 2021 — различия между версиями

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск
Строка 85: Строка 85:
 
<li>Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
 
<li>Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
 
<li>Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.</ol>
 
<li>Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.</ol>
 +
 +
<h5>Вопросы к экзамену по шестому модулю</h5>
 +
<ol><li>Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
 +
<li>Симметризация и альтернирование. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведения векторов.
 +
<li>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
 +
<li>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
 +
<li>Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах.
 +
<li>Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
 +
<li>Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
 +
<li>Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении.
 +
<li>Оператор Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.
 +
<li>Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий.
 +
<li>Гладкие отображения между многообразиями. Кривые на многообразиях. Функции на многообразиях.
 +
<li>Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
 +
<li>Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами.
 +
<li>Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат.
 +
<li>Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования при замене координат.
 +
<li>Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.</ol>
  
 
<h5>Правила проведения экзаменов</h5>
 
<h5>Правила проведения экзаменов</h5>

Версия 00:00, 10 декабря 2021

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 1 по математике: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 1 по математике.

Преподаватель практики у подгруппы 2 по математике: Павел Андреевич Ходунов.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 2 по математике.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  М.О. Катанаев. Геометрические методы в математической физике.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание третьего семестра курса алгебры

9   Линейные операторы и ¯-билинейные формы
  • 9.1  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
    Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с
    оператором. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы.
  • 9.2  Спектральная теория в унитарных пространствах
    Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств. Следствие из спектральной теоремы для
    унитарных пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о собственных числах и собственных
    векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов. Собственные числа и функции оператора энергии.
  • 9.3  Спектральная теория в евклидовых пространствах
    Лемма о линейном операторе с пустым спектром. -Спектр. -Диагональные матрицы. Спектральная теорема для евклидовых пространств. Следствие
    из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Теорема о
    спектральном разложении. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
  • 9.4  Специальная ортохронная группа Лоренца
    Группа . Теорема о сохранении скорости света. Бусты. Теорема о матричной группе Лоренца. Группа . Пространство Минковского.
    Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о поворотах и бустах.
10   Тензоры (часть 1)
  • 10.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами
    Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.
    Теорема об универсальности тензорного произведения. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение линейных операторов.
    Тензорное произведение тензоров. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
  • 10.2  Тензоры типа и тензорная алгебра
    Пространство тензоров типа . Тензоры типа , , , , , и . Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров
    типа . Тензоры типа в координатах. Преобразование координат тензоров типа . Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
  • 10.3  Операции над тензорами типа
    Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц. Тензорное произведение полилинейных
    форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
    Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.
11   Тензоры (часть 2)
  • 11.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
    Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Симметризация и
    альтернирование и лемма о них. Симметрическое и внешнее произведения векторов. Лемма к теореме и теорема об универсальности симметрической
    степени и внешней степени. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
  • 11.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
    Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах. Теорема о симметрическом
    произведении и внешнем произведении тензоров. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
  • 11.3  Операции над внешними формами
    Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении. Оператор
    Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.
12   Многообразия
  • 12.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями
    Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые
    на многообразиях. Функции на многообразиях. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
  • 12.2  Касательные пространства и кокасательные пространства
    Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательных
    пространствах. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования
    при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции по вектору.
  • 12.3  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
    Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (-формы). Векторные поля и -формы, определяемые координатами.
    Векторные поля и -формы в координатах. Преобразования при замене координат. Расслоение тензоров типа . Тензорные поля типа .
    Тензорные поля типа в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные -формы. Алгебра дифференциальных форм.
  • 12.4  Дифференциальные операции на многообразиях
    Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе. Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и
    точные формы. Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение.
  • 12.5  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
    Метрические тензоры. Псевдоримановы и римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий. Бемоль и диез. Градиент.
    Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан. Длина кривой. Символы Кристоффеля.
    Теорема о связности Леви-Чивиты. Теорема об ускорении и энергии свободной частицы. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.


Подробные планы пятого модуля курса алгебры и шестого модуля курса алгебры

Информация об экзаменах

Вопросы к экзамену по пятому модулю
  1. Симметричные, антисимметричные и положительно определенные операторы. Форма, связанная с оператором, и лемма об этой форме.
  2. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы.
  3. Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств.
  4. Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств и матричная формулировка этой теоремы.
  5. Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
  6. Собственные числа и функции оператора энергии.
  7. Лемма о линейном операторе с пустым спектром. -Спектр. -Диагональные матрицы. Спектральная теорема для евклидовых пространств.
  8. Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств и матричная формулировка этой теоремы.
  9. Теорема о спектральном разложении. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
  10. Группа . Теорема о сохранении скорости света.
  11. Бусты. Теорема о матричной группе Лоренца. Группа . Пространство Минковского.
  12. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о поворотах и бустах.
  13. Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора.
  14. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения.
  15. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение линейных операторов. Тензорное произведение тензоров.
  16. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
  17. Пространство тензоров типа . Тензоры типа , , , , , и .
  18. Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа .
  19. Тензоры типа в координатах. Преобразование координат тензоров типа .
  20. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
  21. Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц.
  22. Тензорное произведение полилинейных форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах.
  23. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
  24. Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.
Вопросы к экзамену по шестому модулю
  1. Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
  2. Симметризация и альтернирование. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведения векторов.
  3. Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
  4. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
  5. Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах.
  6. Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
  7. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
  8. Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении.
  9. Оператор Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.
  10. Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий.
  11. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые на многообразиях. Функции на многообразиях.
  12. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
  13. Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами.
  14. Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат.
  15. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования при замене координат.
  16. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.
Правила проведения экзаменов
  • Во время экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, письменные принадлежности и список вопросов к экзамену.
  • Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до n,
    второй номер будет от n+1 до 2n, где 2n — общее количество вопросов) и затем начинает готовиться к ответам на вопросы из билета.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  • После окончания подготовки каждый студент отвечает преподавателю вопросы из билета. Кроме того, студентам будут заданы дополнительные
    вопросы, упражнения и задачи на знание и умение использовать определения, конструкции, теоремы, леммы и утверждения по всем темам
    модуля (при этом уровень сложности упражнений и задач будет соответствовать оценке, на которую претендует данный студент).