Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Материал из CSC Wiki
Перейти к:навигация, поиск
Строка 97: Строка 97:
 
<li>Матричные унитарные группы: <math>\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^{\scriptscriptstyle\mathsf T}\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)</math> и <math>\mathrm U(n)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
 
<li>Матричные унитарные группы: <math>\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^{\scriptscriptstyle\mathsf T}\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)</math> и <math>\mathrm U(n)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
 
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-{\sin\varphi}\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-{\cos\varphi}\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math> и <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}</math>.
 
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-{\sin\varphi}\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-{\cos\varphi}\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math> и <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}</math>.
<li>Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: <math>\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}</math>. Теорема об описании изометрий.
+
<li>Группа изометрий предгильбертова пр.-ва (как метрического пространства): <math>\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}</math>.
<p><u>Теорема об описании изометрий.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над <math>\,\mathbb R</math>; тогда <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)</math>, а также, обозначая<br>через <math>G</math>, <math>F</math> и <math>H</math> группу <math>\,\mathrm{Isom}(V)</math> и ее подгруппы <math>\{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}</math> и <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}</math> соответственно, имеем следующие факты:<br><math>F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}</math>, <math>G=F\circ H</math>, <math>\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math> и <math>F\cong V^+\!</math> (и, значит, <math>\mathrm{Isom}(V)=\{\bigl(v\mapsto a(v)+z\bigr)\!\mid a\in\mathrm O(V),\,z\in V\}\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)</math>).</i></p></ul>
+
<li><u>Теорема об описании изометрий.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над <math>\,\mathbb R</math>; тогда <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)</math>, а также, обозначая<br>через <math>G</math>, <math>F</math> и <math>H</math> группу <math>\,\mathrm{Isom}(V)</math> и ее подгруппы <math>\{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}</math> и <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}</math> соответственно, имеем следующие факты:<br><math>F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}</math>, <math>G=F\circ H</math>, <math>\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math> и <math>F\cong V^+\!</math> (и, значит, <math>\mathrm{Isom}(V)=\{\bigl(v\mapsto a(v)+z\bigr)\!\mid a\in\mathrm O(V),\,z\in V\}\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)</math>).</i>
 +
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во с ориентацией, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>; тогда существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и<br><math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-{\sin\varphi}\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math> (и, значит, <math>a</math> — оператор поворота в <math>V</math> на угол <math>\varphi</math> против часовой стрелки вокруг оси с напр. вектором <math>e_1</math>).</i></ul>
  
 
<h3>8&nbsp;&nbsp; Алгебры</h3>
 
<h3>8&nbsp;&nbsp; Алгебры</h3>

Версия 15:00, 15 мая 2022

Подробный план четвертого модуля курса алгебры

6   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

6.1  ¯-Билинейные формы
  • Пр.-во билинейных форм: . Примеры билин. форм: (, ), (, ).
  • Поля с инволюцией. Пространство : . Пространство ¯-билинейн. форм (полуторалинейных форм, если ): .
  • Матрица Грама формы : . Обобщенная матрица Грама: . Теорема о матрице Грама.

    Теорема о матрице Грама. Пусть — поле с инволюцией, — векторное простр.-во над , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено (координаты вычисляются относительно );
    (2) для любых и выполнено .

  • Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
  • Простр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
  • Пр.-ва ¯-антисимметр. форм и матриц: и .
  • Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
  • Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
6.2  ¯-Квадратичные формы
  • Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
  • ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
  • Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующие факты:
    — симметричная билинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) линейные операторы и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем
    следующие факты: — полуторалинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) линейные операторы и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Гиперповерхность втор. порядка (аффинная квадрика) в : мн.-во вида , где , и .
  • Примеры аффинных квадрик. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
6.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
  • Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
  • Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
  • Топологическая невырожденность ( или , — нормир. пр.-во, ): — биекция.
  • Пример: или , и ; тогда топологически невырожд. (без док.-ва).
  • Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
  • Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над , , , и
    ; тогда , если и только если и форма невырождена.
  • Ортогональные векторы (): . Ортогональн. дополнение: .
  • Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над , и ; тогда
    (1) , , и ;
    (2) если и форма невырождена, то , а также и ;
    (3) и, если , то форма невырождена;
    (4) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : ).
6.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  • Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогональн. коорд. (): .
  • Ортонормированный базис ( или ): — диагональная матрица с на диагонали.
  • Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — вект. пр. над и ; тогда .
  • Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

    Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , и ; тогда
    (1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
    (2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).

    Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
    (1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
    (2) если или , то сущ.-т такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали.

  • Лемма об ортогональном проекторе. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , , ,
    форма невырождена и ; тогда и, если , то
    .
  • Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть — поле с инволюцией, — векторное простр.-во над , , , ,
    , форма невырождена и ; тогда .
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над , , и
    ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор матрицы (то
    есть ). Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для
    любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено и
    , а также (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
  • Ортогонал. системы функций: и (), (), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

7   Геометрия в векторных пространствах над или

7.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  • Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: и .
  • Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: и .
  • Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть или , — вект. пр.-во над и ; тогда
    (1) если и , то и, если , то форма невырождена и ;
    (2) если , то , если и только если ;
    (3) если и , то , если и только если .
  • Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над , , и ; для любых
    обозначим через -й угловой минор матрицы (то есть ); тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если .
  • Индексы инерции формы : и .
  • Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — векторное простр.-во над , , и ; тогда
    (1) (и, значит, число не зависит от );
    (2) (и, значит, число не зависит от );
    (3) .
  • Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — вект. простр.-ва над , , и
    ; тогда , если и только если , и .
  • Сигнатура формы : (или ). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
7.2  Предгильбертовы пространства
  • Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
  • Евклидовоунитарное пр.-во — конечномерн. вект. пр.-во над с полож. опред. формой, то есть конечномерн. предгильбертово пр.-во над .
  • Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
  • Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
    (1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
    (2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
    (3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля).
  • Метрика: . Расстояние между подмн.-вами: . Теорема о расстояниях и проекциях.

    Теорема о расстояниях и проекциях. Пусть — предгильбертово пространство и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) если , то для любых выполнено ;
    (3) если , то и для любых выполнено ;
    (4) если , то для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя).

  • Метод наименьших квадратов: замена системы , где и , на систему , где .
  • Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
  • Псевдоевклидовопсевдоунитарное пр.-во сигнатуры — кон.-мерн. вект. пр.-во над с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры .
7.3  Ориентация, объем, векторное произведение
  • Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
  • Ориентация пр.-ва — выбор эл.-та мн.-ва . Знак набора векторов: . Теорема о знаке базиса и формах объема.

    Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — векторное простр.-во с ориентацией и ; тогда для любых выполнено
    , а также множество , равное , не зависит от выбора упорядоченного базиса .

  • Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
  • Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.

    Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклидово пространство сигнатуры с ориентацией, и ; тогда
    (1) ;
    (2) для любых выполнено .

  • Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
  • Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
    (1) ;
    (2) если и , то .
  • Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
  • Векторное произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.

    Теорема о векторном произведении. Пусть — псевдоевклидово пр.-во сигнатуры с ориентацией, и ; тогда
    (1) , а также , если и только если векторы независимы;
    (2) если , то и, если независимы, то ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) если и , то для любых выполнено и .

7.4  Тело кватернионов
  • Кольцо кватернионов: , где , а также , и .
  • Скалярная (вещественная) часть и векторная (мнимая) часть кватерниона: и