Алгоритмы и структуры данных 5SE 2018-2019

Лекции

Преподаватель: Смаль Александр Владимирович

Рабочая программа

• 4 сентября. Введение. Алгоритм. Память и время как ресурсы. Вычисление чисел Фибоначчи: экспоненциальный рекурсивный алгоритм, полиномиальный алгоритм, более детальный анализ. 𝑃-символика как инструмент оценки ресурсов, различные асимптотики (логарифм, полином, экспонента).

• 11 сентября. Элементарные структуры данных. Массивы переменного размера: аддитивная и мультипликативная схемы реаллокации. Односвязный список, двусвязный список. Абстрактные типы данных, интерфейс и реализация. Стек, очередь, дек; моделирование на основе массива. Моделирование очереди с помощью двух стеков. Анализ учётных стоимостей операций при помощи функция потенциала, истинные и учётные стоимости.

• 18 сентября. Рекуррентные соотношения. Метод ”разделяй и властвуй“. Умножение n-битовых чисел: простой рекурсивный алгоритм, улучшенный рекурсивный алгоритм. Рекуррентные соотношения: основная теорема. Двоичный поиск. Сортировка слиянием: с рекурсией и без. Нижняя оценка $\Omega(n\log n)$ для сортировки сравнениями.

• 24 сентября 13:40. Алгоритмы сортировки. Квадратичные сортировки. Сортировка с помощью кучи: очередь с приоритетами, построение кучи за линейное время, частичная сортировка. Сортировка подсчётом, стабильность. Цифровая сортировка. Bucket sort для равномерно распределённых вещественных чисел.

• 25 сентября. Быстрая сортировка: понятие вероятностного алгоритма, время работы в среднем, анализ средней глубины рекурсии, элиминация хвостовой рекурсии, IntroSort.

• 1 октября 13:40. Быстрая сортировка: анализ среднего времени работы, массивы с малым количеством различных элементов, QuickSort3. Порядковые статистики. Порядковые статистики, нахождение за линейное в среднем время. Медиана медиан.

• 2 октября. Динамическое программирование. Общие принципы динамического программирования. Кратчайшие пути в ациклических ориентированных графах. Наибольшая возрастающая подпоследовательность: подзадачи, порядок на подзадачах, граф подзадач, сравнение с рекурсивным алгоритмом; нахождение не только длины, но и самой подпоследовательности. Дискретная задача о рюкзаке.

• 30 октября. Динамическое программирование (продолжение). Умножение матриц. Независимые множества максимального веса в деревьях. Редакционное расстояние: граф на подзадачах, нахождение кратчайшего пути в данном графе; нахождение оптимального выравнивания с использованием линейной памяти.

• 6 ноября. Жадные алгоритмы. Задача о выборе заявок. Коды Хаффмена. Хорновские формулы. Задача о покрытии множествами. Минимальное покрывающее дерево: свойство разреза, жадная стратегия, алгоритм Прима, алгоритм Краскала.

• 13 ноября. Жадные алгоритмы. Задача о выборе заявок. Коды Хаффмена. Хорновские формулы. Задача о покрытии множествами. Минимальное покрывающее дерево: свойство разреза, жадная стратегия, алгоритм Прима, алгоритм Краскала.

• 20 ноября. Система непересекающихся множеств. Представление множеств с помощью деревьев, эвристика сжатия путей, верхняя оценка $O(m \log^* n)$ на время работы m операций. Анализ учётных стоимостей операций: метод ростовщика.

• 27 ноября Способы хранения графов: матрица смежности, списки смежности, матрица инцидентности. Поиск в глубину. Графы и способы их представления, способы использования графов. Поиск в глубину в неориентированных графах, выделение компонент связности. Поиск в глубину в ориентированных графах: ориентированные ациклические графы, топологическая сортировка вершин, наличие стока и истока в ациклическом графе, выделение компонент сильной связности. Мосты и точки сочленения (на практике).

• 4 декабря. Кратчайшие пути в графах. Нахождение кратчайших путей из одной вершины в невзвешенных графах, поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей из одной вершины в графах с положительными весами, алгоритм Дейкстры, оценка времени работы при различных реализациях очереди с приоритетами (массивом, двоичной кучей, d-ичной кучей). Нахождение кратчайших путей из одной вершины в графах, в которых есть рёбра отрицательного веса, алгоритм Беллмана-Форда, проверка наличия цикла отрицательного веса. Кратчайшие пути в ациклических ориентированных графах. Кратчайшие пути между всеми парами вершин: алгоритм Флойда-Уоршолла, алгоритм Джонсона.

• 11 декабря. Деревья поиска. Корневое дерево: бинарное дерево, дерево с произвольным ветвлением, представление ”левый ребёнок — правый сосед“. Дерево поиска: поиск, вставка, удаление, поиск следующего и предыдущего элемента за время, пропорциональное высоте. АВЛ-дерево: верхняя оценка $O(\log n)$ на высоту, сохранение свойства при помощи малых и больших вращений.

• 18 декабря. Splay-дерево. Splay-дерево: дерево, которое остаётся сбалансированным в среднем и при этом не хранит никакой дополнительной информации в вершинах; реализация основных операций через операцию splay; верхняя оценка $O(\log n)$ на среднюю стоимость операций.

• 25 декабря. Декартово дерево. Декартово дерево: построение декартова дерева за линейное время (при предварительно отсортированных ключах), реализация операций вставки и удаления через split и merge. Дуча: верхняя оценка $O(\log n)$ на мат. ожидание глубины. Использование неявного ключа, rope.

На весенний семестр

• Задачи RMQ и LCA. Дерево отрезков, двоичный подъём. Динамическая задача RMQ/RSQ: оценка $O(\log n)$ для запросов суммы/минимума и изменения элемента. Статический вариант задачи RMQ: полное предвычисление ($O(n^2)$ на предобработку, $O(1)$ на запрос), метод разреженной таблицы ($O(n \log n)$ на предобработку, $O(1)$ на запрос). Задача LCA: эйлеров обход дерева, сведение к задаче RMQ. Сведение задачи RMQ к задаче LCA через декартово дерево.

Литература

• Дасгупта С., Пападимитриу Х., Вазирани У. Алгоритмы.
• Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест, К.Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ.
• А. Шень. Программирование: теоремы и задачи.
• М. А. Бабенко, М. В. Левин. Введение в теорию алгоритмов и структур данных.

Онлайн-курсы

• Алгоритмы: теория и практика. Методы
• Алгоритмы: теория и практика. Структуры данных

Практика

Мишунин

Контакты: alexander.mishunin[at]gmail.com

Дедлайны по теоретическому ДЗ: до начала занятия для правок уже присланых ранее задач, и до начала суток, в которые будет занятие, для новых задач.

Таблица с результатами

Слабодкин

Контакты: slabodkin.m[at]gmail.com

Таблица с результатами

Смаль

Контакты: avsmal[at]gmail.com